Question

5．【问题背景】
已知：l₁∥l₂∥l₃∥l₄，平行线l₁与l₂、l₂与l₃、l₃与l₄之间的距离分别为d₁、d₂、d₃，且d₁=d₃=1，d₂=2，我们把四个顶点分别在l₁、l₂、l₃、l₄这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．

【问题探究】
（1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，则正方形ABCD的边长为$\sqrt{10}$．
（2）矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽=2：1，求矩形ABCD的宽．
【问题拓展】
（3）如图1，EG过正方形ABCD的顶点D且垂直l₁于点E，分别交l₂，l₄于点F，G，将∠AEG绕点A顺时针旋转30°，得到∠AE′D′（如图2），点D′在直线l₃上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′C′，分别在直线l₂，l₄上，求菱形AB′C′D′的边长．

Answer 1

分析 （1）利用已知得出△AED≌△DGC（AAS），即可得出AE，以及正方形的边长；
（2）如图2过点B作BE⊥L₁于点E，反向延长BE交L₄于点F，则BE=1，BF=3，由四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，∠ABE+∠FBC=90°，根据∠ABE+∠EAB=90°，得到∠FBC=∠EAB，然后分类讨论，求得矩形的宽．
（3）首先过点E′作ON垂直于l₁分别交l₁，l₂于点O，N，∠AEO=30°，则∠ED′N=60°，可求出AE=1，EO，EN，ED′的长，进而由勾股定理可知菱形的边长．

解答 解：（1）∵l₁∥l₂∥l₃∥l_{4，
∠AED=90°
∴∠DGC=90°}，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADC=90°，AD=CD，
∵∠ADE+∠2=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠ADE，
∵l₃∥l₄
∴∠1=∠DCG，
∠ADE=∠DCG，
在△AED与△DGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠DCG}\\{∠AED=∠GDC}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△GDC（AAS），
∴AE=GD=1，ED=GC=3，
∴AD=$\sqrt{{1}^{2}{+3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
故答案为：$\sqrt{10}$；

（2）如图2过点B作BE⊥L₁于点E，反向延长BE交L₄于点F，
则BE=1，BF=3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠FBC=90°，
∵∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠FBC=∠EAB，
当AB＜BC时，AB=$\frac{1}{2}$BC，
∴AE=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{3}{2}$，
∴AB=$\sqrt{{1}^{2}{+（\frac{3}{2}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$；
如图3当AB＞BC时，
同理可得：BC=$\frac{\sqrt{37}}{2}$，
∴矩形的宽为：$\frac{\sqrt{13}}{2}$，$\frac{\sqrt{37}}{2}$；

（3）如图4，过点E′作ON垂直于l₁，分别交l₁，l₃于点O，N，
∵∠OAE′=30°，则∠E′FN=60°
∵AE′=AE=1，
故E′O=$\frac{1}{2}$，E′N=$\frac{5}{2}$，E′D′=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
由勾股定理可知菱形的边长为：$\sqrt{\frac{25}{3}+1}$=$\frac{\sqrt{84}}{3}$=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$，

点评 此题主要考查了勾股定理以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练应用全等三角形的判定方法是解题关键．