Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．
（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线．
（2）若AD=，AE=，求EC的长．

Answer 1

（1）证明：取BD中点O，连接OE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠EBO，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠EBO，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
∵BC⊥AC，
∴OE⊥AC，
∵OE为半径，
∴AC是△BDE的外接圆的切线；

（2）解：设⊙O半径为R，
则在Rt△AOE中，由勾股定理得：OA²=AE²+OE²，
即（R+2）²=R²+（6）²，
解得：R=2，
∴OA=2OE，
∴∠A=30°，∠AOE=60°，
∴∠CBE=∠OBE=30°，
∴EC=BE=×R=××2=3．
分析：（1）取BD中点O，连接OE，求出∠CBE=∠EBO，∠OEB=∠EBO，推出∠OEB=∠CBE，推出OE∥BC，求出OE⊥AC，根据切线的判定推出即可；
（2）设⊙O半径为R，在Rt△AOE中，由勾股定理得出（R+2）²=R²+（6）²，求出R=2，求出∠A=30°，∠CBE=∠OBE=30°，推出EC=BE=×R，代入求出即可．
点评：本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．