Question

如图，PA与⊙O相切于点A，PBC为割线，且过圆心O，PA=6，PB=3．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：AB：AC=1：2；
（3）求AB的长．

Answer 1

（1）解：连结OA，如图，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠1+∠2=90°，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵OC=OA，
∴∠3=∠C，
∴∠1=∠C，
而∠P为公共角，
∴△PAB∽△PCA，
∴PA：PC=PB：PA，
∵PA=6，PB=3，
∴6：（3+BC）=3：6，解得BC=9，
∴⊙O的半径为4.5；
（2）证明：∵△PAB∽△PCA，
∴AB：AC=PB：PA，
而PB=3，PA=6，
∴AB：AC=3：6=1：2；
（3）设AB=x，则AC=2x，
在Rt△ABC中，BC=9，
∵BC²=AB²+AC²，
∴9²=x²+（2x）²，解得x=（x=-舍去），
∴AB的长为．
分析：（1）连结OA，根据切线的性质得OA⊥PA，则∠1+∠2=90°，再由BC为⊙O的直径得到∠2+∠3=90°，则∠1=∠3，而∠3=∠C，根据三角形相似的判定可得到△PAB∽△PCA，根据相似的性质得PA：PC=PB：PA，再把PA=6，PB=3代入可计算出BC，即可得到⊙O的半径；
（2）由△PAB∽△PCA得到AB：AC=PB：PA，然后把PB=3，PA=6代入即可得到AB：AC=1：2；
（3）由AB：AC=1：2，可设AB=x，则AC=2x，在Rt△ABC中利用勾股定理即可得到x的值．
点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．