Question

如图，已知直线y=

3

x与反比例函数y=

k

x

的图象交于A，B两点，且点A的横坐标为

3

．在坐标轴上找一点C，直线AB上找一点D，在双曲线y=

k

x

找一点E，若以O，C，D，E为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，那么符合条件点D的坐标为

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：把A的横坐标代入直线解析式求出y的值，确定出A坐标，把A坐标代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，设D（a，

3

a），由直线AB解析式可知，直线AB与y轴正半轴夹角为60°，以O、C、D、E为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，D在直线y=

3

x上，得到点C只能在y轴上，得出E横坐标为a，把x=a代入反比例函数解析式求出y的值，确定出E坐标，由菱形的边长相等得到OE=ED，进而求出a的值，确定出满足题意D的坐标即可．

解答：解：把x=

3

代入y=

3

x，得：y=3，即A（

3

，3），
把点A（

3

，3）代入y=

k

x

，解得：k=3

3

，
∴反比例函数解析式为y=

3 3

x

，
设D点坐标（a，

3

a），由直线AB解析式可知，直线AB与y轴正半轴夹角为60°，
∵以O、C、D、E为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，D在直线y=

3

x上，
∴点C只能在y轴上，
∴E点的横坐标为a，
把x=a代入y=

3 3

x

，得：y=

3 3

a

，即E（a，

3 3

a

），
根据OE=ED，即：

a2+ 27 a2

=|

3

a-

3 3

a

|，
解得：a=±3，
则满足题意D为（3，3

3

）或（-3，-3

3

）．
故答案为：（3，3

3

）或（-3，-3

3

）．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求反比例函数解析式，菱形的判定与性质，两点间的距离公式，一次函数与反比例函数的交点，弄清题意是解本题的关键．