Question

△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是角平分线，ED⊥BC．
①请你写出图中所有的等腰三角形；
②若BC=10，求AB+AE的长．

Answer 1

解：①∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠8=45°，
又∵DE⊥BC，
∴∠EDC=90°，∠7=∠8=45°，DE=DC，
故△DCE为等腰三角形；
∵BE是∠ABC的角平分线，∠BAC=∠ACB=90°，
∴AE=DE，
故△ADE为等腰三角形；
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，
又∵∠BAE=∠EDB=90°，BE=BE，
∴△ABE≌△DBF，∠3=∠4，AB=BD，
故△ABD为等腰三角形．
故图中所有的等腰三角形为△ABC，△DCE，△ADE，△ABD，共四个；

②由①可知△AED为等腰三角形，△ABD为等腰三角形，△CDE为等腰三角形．
故AB=BD，AE=DE=CD，
∴AB+AE=BD+CD=BC=10．
分析：①如图，根据△ABC是等腰直角三角形可知∠8=45°，由ED⊥BC可知∠7=∠8=45°，由此得到△DCE为等腰三角形；由角平分线的性质可知AE=DE，由此得到△AED为等腰三角形；同理可得△ABD为等腰三角形；
②由于△AED为等腰三角形，△ABD为等腰三角形，利用等腰三角形的性质即可证明AB+AE=BD+CD=BC，然后就可以求出AB+AE的长．
点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数及等量代换的应用是正确解答本题的关键．