如图.已知△ABC是等腰直角三角形.∠C=90度．(1)操作并观察.如图.将三角板的45°角的顶点与点C重合.使这个角落在∠ACB的内部.两边分别与斜边AB交于E.F两点.然后将这个角绕着点C在∠ACB的内部旋转.观察在点E.F的位置发生变化时.AE.EF.FB中最长线段是否始终是EF?写出观察结果．(2)探索:AE.EF.FB这三条线段能否组成以EF为斜边的直角三� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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24、如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90度．
（1）操作并观察，如图，将三角板的45°角的顶点与点C重合，使这个角落在∠ACB的内部，两边分别与斜边AB交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在∠ACB的内部旋转，观察在点E、F的位置发生变化时，AE、EF、FB中最长线段是否始终是EF？写出观察结果．
（2）探索：AE、EF、FB这三条线段能否组成以EF为斜边的直角三角形？如果能，试加以证明．

分析：（1）在E点，F点的位置发生变化时，AE，EF，FB中最长线断始终是EF；
（2）如图，△ACE绕C旋转90度到△CBM的位置，连接FM．根据作法知道△ACE≌△BCM，然后根据全等三角形的性质可以得到CE=CM，∠ACE=∠BCM，∠A=∠CBM=45°，AE=BM，再根据已知∠ACB=90°，∠ECF=45°，可以证明△ECF≌△MCF，然后利用全等三角形的性质就可以证明△BMF是直角三角形，从而证明题目的结论．

解答：解：（1）观察结果是：当45°角的顶点与点C重合，并将这个角绕着点C在重合，并将这个角绕着点C在∠ACB内部旋转时，AE、EF、FB中最长线段始终是EF．（3分）
（2）AE、EF、FB这三条线段能组成以EF为斜边的直角三角形．（4分）
证明如下：

在∠ECF的内部作∠ECG=∠ACE，使CG=CA，连接EG、FG（5分）
又∵CE=CE
则△ACE≌△GCE（SAS），
∴∠1=∠A（8分）
同理：△CGF≌△CBF，∴∠2=∠B（9分）
∵∠ACB=90°
∴∠A+∠B=90°
∴∠1+∠2=90°（10分）
∴∠EGF=90°（11分）
∴AE、EF、FB这三条线段能组成以EF为斜边的直角三角形．（12分）

点评：此题是开放性试题，利用等腰直角三角形的性质来探究图形变换的规律，最后利用旋转法证明探究的规律．

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