Question

如图，已知△ABC是边长为4的正三角形，AB在x轴上，点C在第一象限，AC与y轴交于点D，点A的坐标为（-1，0）．
（1）写出B，C，D三点的坐标；
（2）若抛物线y=ax²+bx+c经过B，C，D三点，求此抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）过C作CE⊥ABxX轴于E点，可得出E的坐标，A、B的坐标，再由△ABC可求出CE的长度，继而可得出C的坐标，然后根据比例关系可求出D点坐标．
（2）用待定系数法求解，将三点代入联立求解可求出a、b、c的值，即得出函数解析式．

解答：解：（1）过C作CE⊥AB交x轴于E点，
∵△ABC是正三角形，AB=AC=BC=4，A（-1，0），
∴B（3，0），E（1，0），
∴AE=2，（3分）
在Rt△ACE中，CE=

AC2-AE2

=2

3

，
∴C（1，2

3

），（5分）
∵CE∥DO，
∴

DO

CE

=

AO

AE

，
∴DO=

3

，
∴D（0，

3

）；（7分）

（2）由抛物线y=ax²+bx+c经过B，C，D三点，
得：

c= 3 a+b+c=2 3 9a+3b+c=0

，
解得

a=- 2 3 3 b= 5 3 3 c= 3

，
∴抛物线的解析式为y=-

2

3

3

x²+

5

3

3

x+

3

．（12分）

点评：本题考查待定系数法求二次函数解析式，结合了等边三角形的性质，综合性比较强，难度也很大．