Question

（2012•福州）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．
（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=

8-2t

，PD=

4

3

t

．
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；
（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．

Answer 1

分析：（1）根据题意得：CQ=2t，PA=t，由Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，即可得tanA=

PD

PA

=

BC

AC

=

4

3

，则可求得QB与PD的值；
（2）易得△APD∽△ACB，即可求得AD与BD的长，由BQ∥DP，可得当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即可求得此时DP与BD的长，由DP≠BD，可判定?PDBQ不能为菱形；然后设点Q的速度为每秒v个单位长度，由要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，列方程即可求得答案；
（3）设E是AC的中点，连接ME．当t=4时，点Q与点B重合，运动停止．设此时PQ的中点为F，连接EF，由△PMN∽△PQC．利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

解答：解：（1）根据题意得：CQ=2t，PA=t，
∴QB=8-2t，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，
∴∠APD=90°，
∴tanA=

PD

PA

=

BC

AC

=

4

3

，
∴PD=

4

3

t．
故答案为：（1）8-2t，

4

3

t．

（2）不存在
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10
∵PD∥BC，
∴△APD∽△ACB，
∴

AD

AB

=

AP

AC

，即

AD

10

=

t

6

，
∴AD=

5

3

t，
∴BD=AB-AD=10-

5

3

t，
∵BQ∥DP，
∴当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，
即8-2t=

4t

3

，解得：t=

12

5

．
当t=

12

5

时，PD=

4

3

×

12

5

=

16

5

，BD=10-

5

3

×

12

5

=6，
∴DP≠BD，
∴?PDBQ不能为菱形．
设点Q的速度为每秒v个单位长度，
则BQ=8-vt，PD=

4

3

t，BD=10-

5

3

t，
要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，
当PD=BD时，即

4

3

t=10-

5

3

t，解得：t=

10

3

当PD=BQ，t=

10

3

时，即

4

3

×

10

3

=8-

10

3

v，解得：v=

16

15

当点Q的速度为每秒

16

15

个单位长度时，经过

10

3

秒，四边形PDBQ是菱形．

（3）如图2，以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．
依题意，可知0≤t≤4，当t=0时，点M₁的坐标为（3，0），当t=4时点M₂的坐标为（1，4）．
设直线M₁M₂的解析式为y=kx+b，
∴

3k+b=0 k+b=4

，
解得

k=-2 b=6

，
∴直线M₁M₂的解析式为y=-2x+6．
∵点Q（0，2t），P（6-t，0）
∴在运动过程中，线段PQ中点M₃的坐标（

6-t

2

，t）．
把x=

6-t

2

代入y=-2x+6得y=-2×

6-t

2

+6=t，
∴点M₃在直线M₁M₂上．
过点M₂作M₂N⊥x轴于点N，则M₂N=4，M₁N=2．
∴M₁M₂=2

5

∴线段PQ中点M所经过的路径长为2

5

单位长度．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及一次函数的应用．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．