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(2012•福州) 如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D,AD交⊙O于点E.
(1)求证:AC平分∠DAB;
(2)若∠B=60°,CD=2
3
,求AE的长.
分析:(1)连接OC,由CD为圆O的切线,根据切线的性质得到OC垂直于CD,由AD垂直于CD,可得出OC平行于AD,根据两直线平行内错角相等可得出∠1=∠2,再由OA=OC,利用等边对等角得到∠2=∠3,等量代换可得出∠1=∠3,即AC为角平分线;
(2)法1:由AB为圆O的直径,根据直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB为直角,在直角三角形ABC中,由∠B的度数求出∠3的度数为30°,可得出∠1的度数为30°,在直角三角形ACD中,根据30°角所对的直角边等于斜边的一半,由CD的长求出AC的长,在直角三角形ABC中,根据cos30°及AC的长,利用锐角三角函数定义求出AB的长,进而得出半径OE的长,由∠EAO为60°,及OE=OA,得到三角形AEO为等边三角形,可得出AE=OA=OE,即可确定出AE的长;
法2:连接EC,由AB为圆O的直径,根据直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB为直角,在直角三角形ABC中,由∠B的度数求出∠3的度数为30°,可得出∠1的度数为30°,在直角三角形ADC中,由CD及tan30°,利用锐角三角函数定义求出AD的长,由∠DEC为圆内接四边形ABCE的外角,利用圆内接四边形的外角等于它的内对角,得到∠DEC=∠B,由∠B的度数求出∠DEC的度数为60°,在直角三角形DEC中,由tan60°及DC的长,求出DE的长,最后由AD-ED即可求出AE的长.
解答:解:(1)如图1,连接OC,
∵CD为⊙O的切线,
∴OC⊥CD,
∴∠OCD=90°,
∵AD⊥CD,
∴∠ADC=90°,
∴∠OCD+∠ADC=180°,
∴AD∥OC,
∴∠1=∠2,
∵OA=OC,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠3,
则AC平分∠DAB;

(2)法1:如图2,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
又∵∠B=60°,
∴∠1=∠3=30°,
在Rt△ACD中,CD=2
3
,∠1=30°,
∴AC=2CD=4
3

在Rt△ABC中,AC=4
3
,∠CAB=30°,
∴AB=
AC
cos∠CAB
=
4
3
cos30°
=8,
连接OE,
∵∠EAO=2∠3=60°,OA=OE,
∴△AOE是等边三角形,
∴AE=OA=
1
2
AB=4;

法2:如图3,连接CE,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
又∠B=60°,
∴∠1=∠3=30°,
在Rt△ACD中,CD=2
3

∴AD=
CD
tan∠DAC
=
2
3
tan30°
=6,
∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形,
∴∠B+∠AEC=180°,
又∵∠DEC=∠B=60°,
在Rt△CDE中,CD=2
3

∴DE=
DC
tan∠DEC
=
2
3
tan60°
=2,
∴AE=AD-DE=4.
点评:此题考查了切线的性质,平行线的性质,等边三角形的判定与性质,锐角三角函数定义,圆内接四边形的性质,以及圆周角定理,利用了转化及数形结合的思想,遇到直线与圆相切,常常连接圆心与切点,利用切线的性质得到垂直,利用直角三角形的性质来解决问题.
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,PD=
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