图形变换中的数学.问题情境:在课堂上.兴趣学习小组对一道数学问题进行了深入探究.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.∠A=30°.点D是AB的中点.连接CD．探索发现:(1)如图①.BC与BD的数量关系是BC=BD,猜想验证:(2)如图②.若P是线段CB上一动点.连接DP.将线段DP绕点D逆时针旋转60°.得到线段DF.连接BF.请猜想BF.BP.BD三者之间的数量关系.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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5．图形变换中的数学，问题情境：在课堂上，兴趣学习小组对一道数学问题进行了深入探究，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，连接CD．探索发现：
（1）如图①，BC与BD的数量关系是BC=BD；
猜想验证：
（2）如图②，若P是线段CB上一动点（点P不与点B，C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想BF，BP，BD三者之间的数量关系，并证明你的结论；
拓展延伸：
（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图③中补全图象，并直接写出BF、BP、BD三者之间的数量关系．

分析（1）利用含30°的直角三角形的性质得出BC=$\frac{1}{2}$AB，即可得出结论；
（2）同（1）的方法得出BC=BD进而得出△BCD是等边三角形，进而判断出△DCP≌△DBF得出CP=BF即可得出结论；
（3）同（2）的方法得出结论．

解答解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠CBA=60°，BC=$\frac{1}{2}$AB，
∵点D是AB的中点，
∴BC=BD，
故答案为：BC=BD；
（2）BF+BP=BD，
理由：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠CBA=60°，BC=$\frac{1}{2}$AB，
∵点D是AB的中点，
∴BC=BD，
∴△DBC是等边三角形，
∴∠CDB=60°，DC=DB，
∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，
∴∠PDF=60°，DP=DF，
∴∠CDB-∠PDB=∠PDF-∠PDB，
∴∠CDP=∠BDF，
在△DCP和△DBF中，$\left\{\begin{array}{l}{DC=DB}\\{∠CDP=∠BDF}\\{DP=DF}\end{array}\right.$，
∴△DCP≌△DBF，
∴CP=BF，
∵CP+BP=BC，
∴BF+BP=BC，
∵BC=BD，
∴BF+BP=BD；
（3）如图③，BF=BD+BP，
理由：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠CBA=60°，BC=$\frac{1}{2}$AB，
∵点D是AB的中点，
∴BC=BD，
∴△DBC是等边三角形，
∴∠CDB=60°，DC=DB，
∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，
∴∠PDF=60°，DP=DF，
∴∠CDB+∠PDB=∠PDF+∠PDB，
∴∠CDP=∠BDF，
在△DCP和△DBF中，$\left\{\begin{array}{l}{DC=DB}\\{∠CDP=∠BDF}\\{DP=DF}\end{array}\right.$，
∴△DCP≌△DBF，
∴CP=BF，
∵CP=BC+BP，
∴BF=BC+BP，
∵BC=BD，
∴BF=BD+BP．

点评此题是三角形综合题，主要考查了含30°的直角三角形的性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解本题的关键是判断出△DCP≌△DBF，是一道中等难度的中考常考题．

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