Question

14．如图所示，直线AC：y=-2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax² +bx+c（a＞0）过A，C两点，与x轴交于另一点B（B在A的右侧），且△OBC∽△OCA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D位抛物线上一点，∠DCA=45°，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求得点A和点C的坐标，从而得到OC和OA的长，然后利用相似三角形的性质求得OB的长，则得到点B的坐标，最后将点A、B、C的坐标代入抛物线的解析式可求得a、b、c的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）过点A作AP⊥CD，垂足为P，作PE⊥OB，PF⊥OC，垂足分别为E，F．由题意可知△ACP为等腰直角三角形则AP=CP，然后证明△CPF≌△APE，则CF=AE，OF=OE，设CF=AE=a，则CO-a=AO+a，可求得a=$\frac{1}{2}$．则可得到点P的坐标，接下来再求得直线CP的解析式，最后将直线CP的解析式与抛物线的解析式联立组成方程组可求得点D的坐标．

解答 解：（1）将x=0代入直线AC的解析式得y=2，
∴C（0，2）．
∴OC=2．
将y=0代入得：-2x+2=0，解得x=1，
∴A（1，0）．
∴AO=1．
∵△OBC∽△OCA，
∴$\frac{OB}{OC}=\frac{OC}{OA}$，即$\frac{OB}{2}=\frac{2}{1}$，解得：OB=4．
∴B（4，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-4），将点C的坐标代入得：4a=2，解得a=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2．
（2）如图所示：过点A作AP⊥CD，垂足为P，作PE⊥OB，PF⊥OC，垂足分别为E，F．

∵∠ACP=45°，∠CPA=90°，
∴△ACP为等腰直角三角形．
∴AP=CP．
∵∠CPF+∠FPA=90°，∠FPA+∠APE=90°，
∴∠CPF=∠APE．
在△CPF和△APE中$\left\{\begin{array}{l}{∠CPF=∠APE}\\{∠PFC=∠PEA}\\{CP=AP}\end{array}\right.$，
∴△CPF≌△APE．
∴CF=AE，FP=EP．
∴四边形FOAP为正方形．
∴OF=OE．
设CF=AE=a，则CO-a=AO+a，即2-a=1+a，解得：a=$\frac{1}{2}$．
∴OE=$\frac{3}{2}$，OF=$\frac{3}{2}$．
∴点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
设直线CP的解析式为y=kx+2，将点P的坐标代入得：$\frac{3}{2}$k+2=$\frac{3}{2}$，解得：k=-$\frac{1}{3}$．
∴直线CP的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+2．
将y=-$\frac{1}{3}$x+2与y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2联立，解得：x=0（舍去）或x=$\frac{13}{3}$，
将x=$\frac{13}{3}$代入y=-$\frac{1}{3}$x+2得：y=$\frac{5}{9}$．
∴D（$\frac{13}{3}$，$\frac{5}{9}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，求得点A、B、C的坐标是解答问题（1）的关键，求得点P的坐标是解答问题（2）的关键．