Question

已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3．

 (1)如图1，P为AB边上的一点，以PD、PC为边作□PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？

(2)如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作□PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．

(3)若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE、PC为边作□PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．

(4)如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA(n为常数)，以PE、PB为边作□PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：

相似三角形的判定与性质；根的判别式；全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质。

专题：

代数几何综合题。

分析：

问题1：四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，然后利用矩形的性质，设PB＝x，可得方程x2＋32＋(2－x)2＋1＝8，由判别式△＜0，可知此方程无实数根，即对角线PQ，DC的长不可能相等；

问题2：在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，可得G是DC的中点，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，易证得Rt△ADP≌Rt△HCQ，即可求得BH＝4，则可得当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4；

问题3：设PQ与DC相交于点G，PE∥CQ，PD＝DE，可得＝＝，易证得Rt△ADP∽Rt△HCQ，继而求得BH的长，即可求得答案；

问题4：作QH∥PE，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K，易证得＝与△ADP∽△BHQ，又由∠DCB＝45°，可得△CKH是等腰直角三角形，继而可求得CK的值，即可求得答案．

解答：

解：问题1：∵四边形PCQD是平行四边形，

若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，

∴∠DPC＝90°，

∵AD＝1，AB＝2，BC＝3，

∴DC＝2，

设PB＝x，则AP＝2－x，

在Rt△DPC中，PD2＋PC2＝DC2，即x2＋32＋(2－x)2＋1＝8，

化简得x2－2x＋3＝0，

∵△＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，

∴方程无解，

∴对角线PQ与DC不可能相等．

问题2：如图2，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，

则G是DC的中点，

过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，

∵AD∥BC，

∴∠ADC＝∠DCH，即∠ADP＋∠PDG＝∠DCQ＋∠QCH，

∵PD∥CQ，

∴∠PDC＝∠DCQ，

∴∠ADP＝∠QCH，

又∵PD＝CQ，

∴Rt△ADP≌Rt△HCQ，

∴AD＝HC，

∵AD＝1，BC＝3，

∴BH＝4，

∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4．

问题3：如图3，设PQ与DC相交于点G，

∵PE∥CQ，PD＝DE，

∴＝＝，

∴G是DC上一定点，

作QH⊥BC，交BC的延长线于H，

同理可证∠ADP＝∠QCH，

∴Rt△ADP∽Rt△HCQ，

即＝＝，

∴CH＝2，

∴BH＝BG＋CH＝3＋2＝5，

∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为5．

问题4：如图3，设PQ与AB相交于点G，

∵PE∥BQ，AE＝nPA，

∴＝，

∴G是DC上一定点，

作QH∥PE，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K，

∵AD∥BC，AB⊥BC，

∴∠D＝∠QHC，∠DAP＋∠PAG＝∠QBH＋∠QBG＝90°，∠PAG＝∠QBG，

∴∠QBH＝∠PAD，

∴△ADP∽△BHQ，

∴，

∵AD＝1，

∴BH＝n＋1，

∴CH＝BH＋BC＝3＋n＋1＝n＋4，

过点D作DM⊥BC于M，

则四边形ABND是矩形，

∴BM＝AD＝1，DM＝AB＝2

∴CM＝BC－BM＝3－1＝2＝DM，

∴∠DCM＝45°，

∴∠KCH＝45°，

∴CK＝CH•cos45°＝(n＋4)，

∴当PQ⊥CD时，PQ的长最小，最小值为(n＋4)．

点评：

此题考查了相似三角形的判定与性质、直角梯形的性质、平行四边形的性质、矩形的性质、勾股定理、一元二次方程根的判别式、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识．此题难度较大，注意准确作出辅助线是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．