Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥BD交AB于点E，设⊙O是△BDE的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）探究线段BC，BD，BO之间的数量关系，并证明；
（3）若DC=2，BC=4，求AD的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD，
∵DE⊥BD，∴∠ODE+∠ODB=90°，
∵OE=OD，
∴∠OED=∠ODE，
∴∠OED+∠ODB=90°，
∵BD为角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠EDB=∠DCB=90°，
∴△EBD∽△DBC，
∴∠OED=∠BDC，
∴∠BDC+∠ODB=90°，即∠ODC=90°，
则AC为圆O的切线；

（2）BD²=2BO•BC，理由为：
∵∠C=∠BED，∠ABD=∠DBC
∴△EBD∽△DBC，
∴=，即DB²=EB•BC，
∵EB=2BO，
∴BD²=2BO•BC；

（3）在Rt△BDC中，BC=4，DC=2，
根据勾股定理得：BD==2，
∴由BD²=2BO•BC，得BO=OD==，
∵∠ADO=∠ACB=90°，
∴OD∥BC，
∴=，即=，
解得：AD=．
分析：（1）连接OD，由DE与DB垂直，得到一对角互余，再由BD为角平分线，以及一对直角相等，得到三角形EDB与三角形DBC相似，由相似三角形的对应角相等得到一对角相等，再由OE=OD，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到OD垂直于AC，即可得证；
（2）BD²=2BO•BC，理由为：由三角形EBD与三角形DBC相似，得比例式，将BE换为2BO即可得证；
（3）在直角三角形DBC中，利用勾股定理求出BD的长，根据（2）的关系式求出BO的长，即为OD的长，由OD与BC都与AC垂直，得到OD与BC平行，由平行得比例，即可求出AD的长．
点评：此题考查了切线的判定，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．