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(2011•宝安区一模)如图,A、B、C是三座城市,A市在B市的正西方向.C市在A市北偏东60°的方向,在B市北偏东30°的方向.这三座城市之间有高速公路l1、l2、l3相互贯通.小亮驾车从A市出发,以平均每小时80公里的速度沿高速公路l2向C市驶去,3小时后小亮到达了C市.
(1)求C市到高速公路l1的最短距离;
(2)如果小亮以相同的速度从C市沿C→B→A的路线从高速公路返回A市.那么经过多长时间后,他能回到A市?(结果精确到0.1小时)(
3
≈1.732
分析:(1)过点C作CD⊥l1于点D,得直角三角形ADC,先由已知求出AC,再根据含30度的直角三角形的性质求出C市到高速公路l1的最短距离;
(2)解直角三角形CBD求出BC,再由已知得出三角形ABC为等腰三角形即AB=BC,从而求出经过多长时间后,他能回到A市.
解答:(1)解:过点C作CD⊥l1于点D,由已知得 …(1分)
AC=3×80=240(km),∠CAD=30° …(2分)
∴CD=
1
2
AC=
1
2
×240=120(km)…(3分)
∴C市到高速公路l1的最短距离是120km.…(4分)

(2)解:由已知得∠CBD=60°
在Rt△CBD中,
∵sin∠CBD=
CD
BC

∴BC=
CD
sin∠CBD
=
120
sin60°
=80
3
…(5分)
∵∠ACB=∠CBD-∠CAB=60°-30°=30°
∴∠ACB=∠CAB=30°
∴AB=BC=80
3
…(6分)
∴t=
AB+BC
80
=
80
3
+80
3
80
=2
3
≈2×1.732≈3.5
…(7分)
答:经过约3.5小时后,他能回到A市.…(8分)
点评:此题考查的知识点是解直角三角形的应用,关键是构建直角三角形,运用含30度的直角三角形的性质、三角函数求解.
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