Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为（　　）

• A、4
• B、

  21

  5

• C、

  35

  8

• D、

  17

  4

Answer 1

考点：切线的性质,矩形的性质

专题：

分析：当P点移动到平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，由于P为切点，得出MP垂直与切线，进而得出PM⊥AC，根据勾股定理先求得AC的长，进而求得OA的长，根据△ADM∽△ACD，求得DM的长，从而求得PM的长，最后根据三角形的面积公式即可求得；

解答：解：当P点移动到平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，如图，
∵P是⊙D的切线，
∴DP垂直与切线，
延长PD交AC于M，则DM⊥AC，
∵在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，
∴AC=

AB2+BC2

=5，
∴OA=

5

2

，
∵∠AMD=∠ADC=90°，∠DAM=∠CAD，
∴△ADM∽△ACD，
∴

DM

CD

=

AD

AC

，
∵AD=4，CD=3，AC=5，
∴DM=

12

5

，
∴PM=PD+DM=1+

12

5

=

17

5

，
∴△AOP的最大面积=

1

2

OA•PM=

1

2

×

5

2

×

17

5

=

17

4

，
故选D．

点评：本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出P处于什么位置时面积最大；