Question

如图，射线PN与等腰梯形ABCD的两边AB，CD分别交于点M，N，且AD∥PN，PM=1cm，

AM

MB

=

5

7

，AB=12cm，AD=3cm，BC=17.4cm，动点Q从P出发，沿射线PN以每秒 是1cm 的速度递右移动，经过t秒，以点Q为圆心，tcm 为半径的圆与等腰梯形ABCD的边相切，请写出t可以取得一切值

 

．

Answer 1

考点：切线的性质,平行线之间的距离,全等三角形的判定与性质,勾股定理,平行四边形的判定与性质,等腰梯形的性质,平行线分线段成比例,相似三角形的判定与性质

专题：计算题,分类讨论

分析：过点A作AG⊥BC交于点G，交PN于点E，过点D作DH⊥BC交于点H，交PN于点F，如图1，利用等腰梯形的性质、平行线分线段成比例、勾股定理等知识可以求出图1中所有线段，然后分四种情况（⊙Q分别与AB、AD、DC、BC相切）进行讨论，利用相似三角形的性质或平行线间的垂线段相等等知识就可解决问题．

解答：解：过点A作AG⊥BC交于点G，交PN于点E，过点D作DH⊥BC交于点H，交PN于点F，如图1，

则有∠AGB=∠AGC=∠DHB=∠DHC=90°．
∴AG∥DH．
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，∠B=∠C．
在△AGB和△DHC中，

∠AGB=∠DHC ∠B=∠C AB=DC

．
∴△AGB≌△DHC（AAS）．
∴AG=DH，BG=HC．
∵AG∥DH，AG=DH，
∴四边形AGHD是平行四边形．
∴GH=AD=3．
同理：EF=AD=3．
∴BG=HC=

17.4-3

2

=7.2．
∴AG=DH=

122-7．22

=9.6．
∵PN∥AD∥BC，

AM

BM

=

5

7

，
∴

AE

EG

=

DF

HF

=

AM

BM

=

5

7

．
∴AE=

5

12

AG=4，EG=9.6-4=5.6．
同理：DF=4，HF=5.6，DN=AM=5，CN=BM=7．
∴ME=FN=

52-42

=3，PN=PM+ME+EF+FN=10．
①若⊙Q与AB相切于点K，连接QK，如图2，

则有∠QKM=90°=∠AEM，QK=PQ=t，QM=1-t．
∵∠QMK=∠AME，
∴△QMK∽△AME．
∴

QM

AM

=

QK

AE

．
∴

1-t

5

=

t

4

．
解得：t=

4

9

．
②若⊙Q与AD相切于点S，连接QS，如图3，

则有QS⊥AD．
∵AD∥MN，AE⊥AD，QS⊥AD，
∴QS=AE=4（平行线间的垂线段相等）．
∴t=4．
③若⊙Q与DC相切于点R，连接QR，如图4，

则有∠QRN=90°=∠DFN．
∵∠QNR=∠DNF，
∴△QNR∽△DNF．
∴

QR

DF

=

QN

DN

．
∴

t

4

=

10-t

5

．
解得：t=

40

9

．
④若⊙Q与BC相切于点T，连接QT，如图5，

则有QT⊥BC．
∵MN∥BC，QT⊥BC，EG⊥BC，
∴QT=EG=5.6=

28

5

．
故答案为：t=

4

9

或4或

40

9

或

28

5

．

点评：本题考查了等腰梯形的性质、切线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、平行线间的垂线段相等、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，有一定的综合性，另外还重点考查了分类讨论的数学思想，是一道好题．