Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高．设Rt△ABC，Rt△ACD，Rt△BCD的内切圆半径分别是r₁、r₂、r₃，则下列结论成立的是（　　）

• A、r₁＞r₂+r₃
• B、r₁=r₂+r₃
• C、r₁＜r₂+r₃
• D、不确定

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：几何图形问题,数形结合

分析：首先根据题意画出图形，然后由Rt△ABC，Rt△ACD，Rt△BCD的内切圆半径分别是r₁、r₂、r₃，可得r₁=

2S△ABC

AC+BC+AB

，r₂=

2S△ACD

AC+AD+CD

，r₃=

2S△BCD

AC+BD+BC

，继而可得r₁＜r₂+r₃．

解答：解：∵Rt△ABC，Rt△ACD，Rt△BCD的内切圆半径分别是r₁、r₂、r₃，
∴r₁=

2S△ABC

AC+BC+AB

，r₂=

2S△ACD

AC+AD+CD

，r₃=

2S△BCD

AC+BD+BC

，
∵CD是斜边AB上的高．
∴CD＜AC，CD＜BC，
∴AD+CD＜AB+BC，CD+BD＜AB+AC，
∴r₂+r₃=

2S△ACD

AC+AD+CD

+

2S△BCD

AC+BD+BC

＞

2S△ACD

AC+BC+AB

+

2S△BCD

AC+BC+AB

=

2S△ABC

AC+BC+AB

=r₁，
即r₁＜r₂+r₃．
故选C．

点评：此题考查了三角形内切圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意

1

2

（内切圆的半径×三角形周长）=三角形的面积．