Question

15．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么AF的长是2$\sqrt{5}$；CH的长是$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根据正方形的性质求出AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出AM=4，FM=2，∠AMF=90°，根据正方形性质求出∠ACF=90°，由勾股定理求出AF，根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=$\frac{1}{2}$AF，根据勾股定理求出AF即可．

解答 解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，
∴AD=AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，
延长AD交EF于M，连接AC、CF，
则AM=BC+CE=1+3=4，FM=EF-AB=3-1=2，∠AMF=90°，
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，
∴∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
∵H为AF的中点，
∴CH=$\frac{1}{2}$AF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF=$\sqrt{A{M}^{2}+F{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴CH=$\sqrt{5}$，
故答案为：2$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并求出AF的长和得出CH=$\frac{1}{2}$AF，有一定的难度．