Question

3．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB=2$\sqrt{3}$，∠BCD=120°，连接CE，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）首先根据菱形的性质，可得AC⊥BD，然后判断出四边形AODE是平行四边形，即可推得四边形AODE是矩形．
（2）在Rt△AEC中，求出AC、AE即可解决问题．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
又∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∴四边形AODE是矩形．

（2）解：∵∠BCD=120°，四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD=∠BCD=120°，∠CAB=∠CAD=60°，AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=2$\sqrt{3}$，OB=OD=AE=3，
在Rt△AEC中，EC=$\sqrt{A{C}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{21}$．

点评 此题主要考查了矩形的判定和性质的应用、以及菱形的性质和应用、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题．