Question

8．如图，OA，OC都是⊙O的半径，点B在OC的延长线上，BA与⊙O相切于点A，连接AC，若AC=4，tan∠BAC=$\frac{2}{3}$，则⊙O的半径长为$\frac{4\sqrt{13}}{3}$．

Answer 1

分析 作直径AD，连接CD，如图，利用圆周角定理得到∠ACD=90°，再根据切线的性质得∠DAB=90°，则利用等角的余角相等得到∠D=∠BAC，所以tanD=tan∠BAC=$\frac{3}{2}$，然后在Rt△ACD中利用正切定义可计算出CD=$\frac{8}{3}$，利用勾股定理可计算出直径AD的长．从而得到⊙O的半径．

解答 解：作直径AD，连接CD，如图，
∵AD为直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠D+∠DAC=90°，
∵BA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AB，
∴∠DAB=90°，即∠DAC+∠BAC=90°，
∴∠D=∠BAC，
∴tanD=tan∠BAC=$\frac{3}{2}$，
在Rt△ACD中，tanD=$\frac{AC}{CD}$，即$\frac{4}{CD}$=$\frac{3}{2}$，解得CD=$\frac{8}{3}$，
∴AD=$\sqrt{C{D}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{8}{3}）^{2}+{4}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{13}}{3}$，
∴⊙O的半径长为$\frac{4\sqrt{13}}{3}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了正切的定义．