Question

如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=

k

x

的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D．已知OA=

5

，tan∠AOC=

1

2

，点B的坐标为（

1

2

，m）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

Answer 1

分析：（1）根据tan∠AOC=

1

2

，且OA=

5

，结合勾股定理可以求得点A的坐标，进一步代入y=

k

x

中，得到反比例函数的解析式；然后根据反比例函数的解析式得到点B的坐标，再根据待定系数法求一次函数解析式；
（2）三角形AOB的面积可利用，求和的方法即等于S_△AOC+S_△COB来求．

解答：解：（1）过点A作AH⊥x于点H．
在RT△AHO中，tan∠AOH=

AH

HO

=

1

2

，
所以OH=2AH．
又AH²+HO²=OA²，且OA=

5

，
所以AH=1，OH=2，
即点A（-2，1）．
代入y=

k

x

得
k=-2．
∴反比例函数的解析式为y=-

2

x

．
又因为点B的坐标为（

1

2

，m），
代入解得m=-4．
∴B（

1

2

，-4）．
把A（-2，1）B（

1

2

，-4）代入y=ax+b，得

-2a+b=1 1 2 a+b=-4

，
∴a=-2，b=-3．
∴一次函数的解析式为y=-2x-3．

（2）在y=-2x-3中，当y=0时，x=-

3

2

．
即C（-

3

2

，0）．
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△COB=

1

2

（1+4）×

3

2

=

15

4

．

点评：此题综合考查了解直角三角形、待定系数法、和函数的基本知识，难易程度适中．