Question

5．如图，AB是⊙O的直径，点C是弧BD中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．
（1）求证：∠D=∠CBD；
（2）若CD=6，AC=8，求⊙O的半径及CE的长．

Answer 1

分析 （1）由圆心角、弧、弦之间的关系定理即可得出结论；
（2）由圆心角、弧、弦之间的关系定理得出CD=BC=6．由圆周角定理得出∠ACB=90°，由勾股定理求出AB，得出OA；由△ABC面积的两种计算方法求出CE即可．

解答 （1）证明：∵C是弧BD的中点，
∴$\widehat{BC}=\widehat{CD}$．
∴∠D=∠CBD．
（2）解：∵C是弧BD的中点，
∴$\widehat{BC}=\widehat{CD}$．
∴BC=CD=6．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∴OA=$\frac{1}{2}$AB=5，
即⊙O的半径为5．
∵S_△ACB=$\frac{AC•BC}{2}$=$\frac{CE•AB}{2}$，
∴CE=$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系定理、圆周角定理、勾股定理、三角形面积的计算方法；由圆心角、弧、弦之间的关系得出BC=CD，再由勾股定理求出AB是解决（2）的关键．