Question

如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆运动（含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形ABC．
（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求△ABC的面积（图1）；
（2）设∠AOB=α，当线段AB、与圆O只有一个公共点（即A点）时，求α的范围（图2，直接写出答案）；
（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AO⊥PM于点N，求CM的长度（图3）．

Answer 1

考点：圆的综合题,等边三角形的性质,勾股定理,切线的性质,相似三角形的判定与性质,特殊角的三角函数值

专题：综合题,动点型

分析：（1）连接OA，如下图1，根据条件可求出AB，然后AC的高BH，求出BH就可以求出△ABC的面积．
（2）如下图2，首先考虑临界位置：当点A与点Q重合时，线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=0°；当线段AB所在的直线与圆O相切时，线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=60°．从而定出α的范围．
（3）连接MQ，如下图3，易证AO∥MQ，从而得到△PNO∽△PMQ，△BMQ∽△BAO，又PO=OQ=BQ，从而可以求出MQ、ON，进而求出PN、NM、AM、CM的值．

解答：解：（1）连接OA，过点B作BH⊥AC，垂足为H，如图1所示．
∵AB与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AB．
∴∠OAB=90°．
∵OQ=QB=1，
∴OA=1．
∴AB=

OB2-OA2

=

22-12

=

3

．
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=

3

，∠CAB=60°．
∵sin∠HAB=

HB

AB

，
∴HB=AB•sin∠HAB
=

3

×

3

2

=

3

2

．
∴S_△ABC=

1

2

AC•BH
=

1

2

×

3

×

3

2

=

3 3

4

．
∴△ABC的面积为

3 3

4

．

（2）①当点A与点Q重合时，
线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=0°；
②当线段A₁B所在的直线与圆O相切时，如图2所示，
线段A₁B与圆O只有一个公共点，
此时OA₁⊥BA₁，OA₁=1，OB=2，
∴cos∠A₁OB=

A1O

OB

=

1

2

．
∴∠A₁OB=60°．
∴当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，
α的范围为：0°≤α≤60°．

（3）连接MQ，如图3所示．
∵PQ是⊙O的直径，
∴∠PMQ=90°．
∵OA⊥PM，
∴∠PNO=90°．
∴∠PNO=∠PMQ．
∴ON∥MQ．
∴△PNO∽△PMQ．
∴

PN

PM

=

NO

MQ

=

PO

PQ

∵PO=OQ=

1

2

PQ．
∴PN=

1

2

PM，ON=

1

2

MQ．
同理：MQ=

1

2

AO，BM=

1

2

AB．
∵AO=1，
∴MQ=

1

2

．
∴ON=

1

4

．
∵∠PNO=90°，PO=1，ON=

1

4

，
∴PN=

15

4

．
∴PM=

15

2

．
∴NM=

15

4

．
∵∠ANM=90°，AN=A0-ON=

3

4

，
∴AM=

AN2+NM2

=

( 3 4 )2+( 15 4 )2

=

6

2

．
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC，∠CAB=60°．
∵BM=

1

2

AB，
∴AM=BM．
∴CM⊥AB．
∵AM=

6

2

，
∴BM=

6

2

，AB=

6

．
∴AC=

6

．
∴CM=

AC2-AM2

=

( 6 )2-( 6 2 )2

=

3 2

2

．
∴CM的长度为

3 2

2

．

点评：本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、直线与圆相切、勾股定理、特殊三角函数值等知识，考查了用临界值法求角的取值范围，综合性较强．