Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，OA=6，AB=8．动点M、N分别从O、B同时出发，都以1个单位的速度运动，其中，点M沿OA向终点C运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，已知动点运动了x秒．
（1）点B的坐标是

 

，用含x的代数式表示点P的坐标为

 

；
（2）设四边形OMPC的面积为S，求当S有最小值时点P的坐标；
（3）试探究，当S有最小值时，在线段OC上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的

1

3

？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题,一元二次方程的解,一元一次不等式的应用

专题：创新题型

分析：（1）点B的横纵坐标分别是OA、AB的长度，根据可PN∥AB求出点P的横坐标和纵坐标，即可解题；
（2）假设运动了x秒，即可得关于x的一元二次不等式，即可求出最小值；
（3）假设点T存在可求出点T的坐标，再根据△OTE的面积是△ONC面积的

1

3

可以求得关于t的方程式，即可解题．

解答：解：（1）∵OA=6，OB=8，
∴B点坐标为（6，8），
∵动点运动了x秒，
∴N点的横坐标为6-x，
∵PN⊥BC，AB⊥BC，
∴PN∥AB，
∴

PN

AB

=

CN

CB

，即PN=

4(6-x)

3

，
∴P点纵坐标为8-PN=

4x

3

，
∴点P坐标为（6-x，

4x

3

）；
（2）设运动了x秒时，S为最小值，
S=S_△AOC-S_△APM=

1

2

×6×8-

1

2

•

4x

3

•（6-x）
=

2

3

x²-4x+24=

2

3

 (x-3)2+18，
∴当x=3时，S有最小值，
此时点P坐标为（3，4）；
（3）假设存在点T（0，t），则直线MT的解析式是y=-

t

3

x+t，
它与直线ON：y=

8

3

x的交点坐标为E（

3t

8+t

，

8t

8+t

），
∵△OTE的面积是△ONC面积的

1

3

，
∴整理可得

1

2

•t•

3t

8+t

=4，解得t=

-4±4 13

3

，
∵0＜t＜8，∴t=

-4+4 13

3

．
∴T点坐标为（0，

-4+4 13

3

）．

点评：本题考查了一元一次不等式的应用，考查了一元二次方程的解的计算，熟练掌握一元二次方程的解的计算公式是解题的关键．