Question

如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，过A点作AG∥DB，交CB的延长线于点G．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若∠G=90，求证：四边形DEBF是菱形．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴DF=DC，BE=AB，
∴DF∥BE，DF=BE，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴DE∥BF；

（2）∵AG∥BD，
∴∠G=∠DBC=90°，
∴△DBC为直角三角形，
又∵F为边CD的中点．
∴BF=DC=DF，
又∵四边形DEBF为平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形．
分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB=CD，又由E、F分别为边AB、CD的中点，易得DF∥BE，DF=BE，即可判定四边形DEBF为平行四边形，则可证得DE∥BF；
（2）由∠G=90°，AG∥DB，易证得△DBC为直角三角形，又由F为边CD的中点，即可得BF=DC=DF，则可证得：四边形DEBF是菱形．
点评：此题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．