Question

如图，已知△ABC中，AD为BC边上中线，E为AC上一点，BE与AD交于F，若AE＝EF 求证：AC＝BF 证明：如图，延长FD交N，使DN＝DF，连结CN． 在△BDF和△CDN中 ∴△________≌△________． ∴∠3＝∠N，BF＝CN ∵AE＝FE，∴∠________＝∠________ ∴∠3＝∠2∴∠1＝∠N ∴________＝________∴BF＝AC 阅读后回答下列问题： (1) 请在上述证明的横线上填写恰当的步骤； (2) 上述证明过程还有别的辅助线作法吗？若有，试选出一种________； (3) 若把AE＝EF换成AD平行于∠BFC的平分线EG，其他条件不变，问原结论是否成立？请给予证明．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	本例属阅读理解，首先要读懂题意，其次，要根据要求作出相应的回答．根据题意，由BD＝CD，∠BDF＝∠CDN，DN＝DF可证△BDF≌△CPN(SAS)，由△BDF≌△CND得出∠3＝∠N，由AE＝FE 　　∴得出∠1＝∠2，∴∠1＝∠N 　　最后得到AC＝CN．
(2)	上述证明可考虑过B作AC的平行线． 　　设过B作AC平行线交AD延长线于点K，则在∠1＝∠K，又∠3＝∠2　∠1＝∠2 　　∴得到∠3＝∠K　∴BF＝BG 　　从而转化可证BK＝AC 　　由于D是BC中点，显然有△ACD≌△GBD， 　　∴BG＝AC问题得证．
(3)	如图，把AE＝EF换成AD平行于∠BEC的平分线EG，其他条件不变，原结论仍然成立． 　　证明：∵EG∥AD 　　∴∠CEG＝∠1　∠BEG＝∠3 　　又∠2＝∠3　∠BEG＝∠CEG 　　∴∠1＝∠2 　　延长AD至N，过C作CN∥BE 　　则∠3＝∠N　∴∠1＝∠N　∴AC＝CN 　　∵D是BC中点，∴BD＝DC 　　在△BDF和△CDN中 　　∴△BDF≌△CDN(AAS) 　　∴BF＝CN　∴AC＝BF