Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB．
（1）求∠CAD的度数；
（2）延长AC至E，使CE=AC，求证：DA=DE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）利用“直角三角形的两个锐角互余”的性质和角平分的性质进行解答；
（2）通过证△ACD≌△ECD来推知DA=DE．

解答：（1）解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=

1

2

∠CAB=30°，即∠CAD=30°；

（2）证明：∵∠ACD+∠ECD=180°，且∠ACD=90°，
∴∠ECD=90°，
∴∠ACD=∠ECD．
在△ACD与△ECD中，

AC=EC ∠ACD=∠ECD CD=CD

，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴DA=DE．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．