Question

10．点F在线段AB上，点E在线段CD上，点P是平面内一点
（1）如图1，若∠FPE-∠BFP=∠DEP，求证：AB∥CD；
（2）在（1）条件下，∠BFP和∠DEP的平分线相交于点H，过点E作EQ⊥EH交∠AFP的角平分线于点Q，连接PQ，且PQ∥FH，若∠FHE=35°，∠QEC=80°，求∠QPE的度数．

Answer 1

分析 （1）过P作PM∥AB，根据平行线的性质得到∠BFP=∠FPM，等量代换得到∠MPE=∠PED，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）由（1）可得∠H=∠BFH+∠DEH=35°，∠FQE=∠AFQ+∠CEQ，根据角平分线的定义得到∠PEH=∠DEH根据余角的性质得到∠CEQ=∠PEQ，然后根据角的和差即可得到结论．

解答 解：（1）过P作PM∥AB，
∴∠BFP=∠FPM，
∴∠MPE=∠FPE-∠BFP，
∵∠FPE-∠BFP=∠DEP，
∴∠MPE=∠PED，
∴CD∥PM，
∴AB∥CD；

（2）由（1）可得：∠H=∠BFH+∠DEH=35°，∠FQE=∠AFQ+∠CEQ，
∵∠QEC=80°，
∵HE平分∠PED，
∴∠PEH=∠DEH，∵QE⊥EH，
∴∠CEQ+∠HED=∠QEP+∠PEH=90°，
∴∠CEQ=∠PEQ，
∵∠QEC=80°，
∴∠HED=10°，
∴∠BFH=25°，
∴∠BFP=50°，∠PED=20°，
∴∠AFQ=65°，
∴∠FQE=145°，
∴∠PQE=55°，
∵∠QEP=80°，
∴∠QPE=45°．

点评 本题考查了平行线的判定和性质，余角的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．