Question

已知：二次函数y=ax²-x+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x=，且图象向右平移一个单位后经过坐标原点O．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求△ABC的外接圆圆心D的坐标及⊙D的半径；
（3）设⊙D的面积为S，在抛物线上是否存在点M，使得S_△ACM=？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x=
∴-
∴a=1，
∵抛物线向右平移一个单位过坐标原点（0，0），
∴原抛物线过点（-1，0）
∴c=-2
∴抛物线的解析式为y=x²-x-2

（2）∵OC=OB=2，线段BC的垂直平分线为直线y=-x
∵抛物线的对称轴为直线x=
∴△ABC外接圆⊙D的圆心D（，-）
∵∠ABC=45°，
∴∠ADC=90°
∵AC=，
∴AD=，
即△ABC外接圆半径为

（3）∵S=，=6，
∴S_△ACM=6
过点M作EF∥AC交x轴于E，交y轴于F，
A（-1，0），B（2，0），C（0，-2）
S_△ACF=S_△ACM=S_△ACE=6
∴CF•OA=6，AE•OC=6
∴CF=12，
∴F（0，10），
∴AE=6，
∴E（5，0）
∴直线EF的解析式为：y=-2x+10
设点M的坐标为（x，x²-x-2）
∵M（x，x²-x-2）在直线EF上
∴x²-x-2=-2x+10
∴x₁=3，x₂=-4；y₁=4，y₂=18
∴在抛物线上存在点M使得S_△ACM=，且M₁（3，4），M₂（-4，18）．
分析：（1）依题意可推出抛物线对称轴是直线x=，过点（-1，0），可确定二次函数y=ax²-x+c的待定系数a、c，确定解析式；
（2）作线段BC和线段AB的垂直平分线，它们的交点就是圆心D，根据点的坐标特点即抛物线的对称轴可求，用勾股定理求半径；
（3）根据（2）可求S=，故S_△ACM==6，用面积法可求满足S_△ACM=6的M点所在的直线EF的解析式，再与抛物线联立，得出满足题意的点M．
点评：本题考查了抛物线解析式的确定方法，三角形外心的确定及坐标的求法，在抛物线中综合面积问题，求满足条件的点坐标等问题．