Question

（1）如图1，AB∥CD，AD与BC交于点P，过P点的直线与AB、CD分别交于E，F．求证：

AE

BE

=

DF

CF

（2）如图2，在图1中，连接CA、DB并延长相交于O，连接OP并延长交CD于M，求证：点M为CD的中点；
（3）如图3，在图2中，若点G从D点向左移动（不与C点重合），AG与BC交于点P，连OP并延长交CD于M，直接写出MC、MG、MD之间的关系式．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）如图1，先由相似三角形的判定定理得出△AEP∽△DFP，△BEP∽△CFP，根据相似三角形对应边成比例得到

AE

DF

=

EP

FP

，

BE

CF

=

EP

FP

，等量代换后得出

AE

DF

=

BE

CF

，然后根据比例的性质证明出

AE

BE

=

DF

CF

；
（2）如图2，设OM交AB于点N．先由相似三角形的判定定理得出△AON∽△COM，△BON∽△DOM，△AOB∽△COD，根据相似三角形对应边成比例得到

OA

OC

=

AN

CM

，

OB

OD

=

BN

DM

，

OA

OC

=

OB

OD

，等量代换后得出

AN

CM

=

BN

DM

①，再由△ANP∽△DMP，△BNP∽△CMP，△APB∽△DPC，得出

AN

DM

=

AP

DP

，

BN

CM

=

BP

CP

，

AP

DP

=

BP

CP

，则

AN

DM

=

BN

CM

②，然后将①式除以②式得出

DM

CM

=

CM

DM

，进而得到CM=DM；
（3）如图3，设OM交AB于点N．先由相似三角形的判定定理得出△MCP∽△NBP，△NAP∽△MGP，根据相似三角形对应边成比例得到

MC

NB

=

MP

NP

①，

NA

MG

=

NP

MP

②，将①×②，得出

MC

NB

×

NA

MG

=

MP

NP

×

NP

MP

=1，即

MC

MG

=

NB

NA

．又△AON∽△COM，△BON∽△DOM，则

NA

MC

=

ON

OM

，

NB

MD

=

ON

OM

，等量代换后得出

NA

MC

=

NB

MD

，根据比例的性质得出

MD

MC

=

NB

NA

，于是由等量代换得出

MC

MG

=

MD

MC

，进而求出MC、MG、MD之间的关系式为MC²=MG•MD．

解答：（1）证明：如图1，∵AB∥CD，AD与BC交于点P，
∴△AEP∽△DFP，△BEP∽△CFP，
∴

AE

DF

=

EP

FP

，

BE

CF

=

EP

FP

，
∴

AE

DF

=

BE

CF

，
∴

AE

BE

=

DF

CF

；

（2）证明：如图2，设OM交AB于点N．
∵AB∥CD，
∴△AON∽△COM，△BON∽△DOM，△AOB∽△COD，
∴

OA

OC

=

AN

CM

，

OB

OD

=

BN

DM

，

OA

OC

=

OB

OD

，
∴

AN

CM

=

BN

DM

 ①，
∵△ANP∽△DMP，△BNP∽△CMP，△APB∽△DPC，
∴

AN

DM

=

AP

DP

，

BN

CM

=

BP

CP

，

AP

DP

=

BP

CP

，
∴

AN

DM

=

BN

CM

 ②，
①÷②，

DM

CM

=

CM

DM

，
∴CM=DM，即点M为CD的中点；

（3）解：MC²=MG•MD，理由如下：
如图3，设OM交AB于点N．
∵AB∥CD，
∴△MCP∽△NBP，△NAP∽△MGP，
∴

MC

NB

=

MP

NP

①，

NA

MG

=

NP

MP

②，
①×②，得

MC

NB

×

NA

MG

=

MP

NP

×

NP

MP

=1，
∴

MC

MG

=

NB

NA

．
∵△AON∽△COM，△BON∽△DOM，
∴

NA

MC

=

ON

OM

，

NB

MD

=

ON

OM

，
∴

NA

MC

=

NB

MD

，
∴

MD

MC

=

NB

NA

，
∴

MC

MG

=

MD

MC

，
∴MC²=MG•MD．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，比例的性质，难度适中．题中需要多次运用相似三角形对应边的比，找准中间过渡比是解题的关键．