Question

如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形．

（1）如图1，连接AG、CE，试判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明．
（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），如图2，连接AG、CE相交于点M，连接MB，当角β发生变化时，∠EMA的度数是否发生变化？若不变化，求出∠EMA的度数；若发生变化，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，∠EMB的度数是否是定值？若是，求出∠EMB的度数；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）AG=EC，AG⊥EC，理由为：由正方形BEFG与正方形ABCD，利用正方形的性质得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS得出三角形ABG与三角形CBE全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到CE=AG，∠BCE=∠BAG，再利用同角的余角相等即可得证；
（2）∠EMA的度数为90°，理由为：过B作BP⊥EC，BH⊥AM，利用SAS得出三角形ABG与三角形BEC全等，由全等三角形的面积相等得到两三角形面积相等，而AG=EC，可得出BP=BH，利用到角两边距离相等的点在角的平分线上得到BM为角平分线，再由∠BAG=∠BCE，及一对对顶角相等，得到∠AMC为直角，即∠AME为直角；
（3）∠EMB的度数为45°．利用（2）中的结论，角平分线定义得到∠EMB的度数是定值．

解答：解：（1）AG=EC，AG⊥EC，理由为：
∵正方形BEFG，正方形ABCD，
∴GB=BE，∠ABG=90°，AB=BC，∠ABC=90°，
在△ABG和△BEC中，

BG=BE ∠ABC=∠EBC=90°    BA=BC

，
∴△ABG≌△BEC（SAS），
∴CE=AG，∠BCE=∠BAG，
延长CE交AG于点M，
∴∠BEC=∠AEM，
∴∠ABC=∠AME=90°，
∴AG=EC，AG⊥EC；

（2）∠EMB的度数不发生变化，∠EMA的度数为45°．理由为：
过B作BP⊥EC，BH⊥AM，
在△ABG和△CEB中，

AB=BC ∠ABG=∠CBE=90°-∠GBC BG=EB

，
∴△ABG≌△CEB（SAS），
∴S_△ABG=S_△EBC，AG=EC，
∴

1

2

EC•BP=

1

2

AG•BH，
∴BP=BH，
∴MB为∠EMG的平分线，
∴∠AMC=∠ABC=90°，
即当角β发生变化时，∠EMA的度数不发生变化，仍为90度；

（3）由（2）知，∠AMC=∠ABC=90°，则∠EMB=

1

2

∠EMG=

1

2

×90°=45°．

点评：此题考查了正方形，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟练掌握正方形的性质是解本题的关键．