【题目】如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°,点E为BC的中点,AE⊥DE.
(1)求证:△ABE∽△ECD;
(2)求证:AE2=AB·AD;
(3)若AB=1,CD=4,求线段AD,DE的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)10.
【解析】试题分析:(1)根据垂直的定义和直角三角形的性质,求出∠BAE=∠CED,然后利用两角对应相等的两三角形相似可证;
(2)根据相似三角形的性质:相似三角形的对应边成比例,以及两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似,可证明结论;
(3)根据相似三角形的性质,由(2)的结论△ABE∽△AED得到对应边成比例,然后根据勾股定理求解.
试题解析:(1)证明:∵AE⊥DE,∴∠AED=90°,∴∠AEB+∠CED=180°-90°=90°,
∵∠ABC=90°,∴∠BAE+∠AEB=90°,∴∠BAE=∠CED.
又∵∠ABC=∠BCD,∴△ABE∽△ECD.
(2) ∵△ABE∽△ECD,∴ .
∵点E为BC的中点,∴BE=EC.
∴.
又∵∠ABC=∠AED=90°,∴△ABE∽△AED,
∴,∴AE2=AB·AD.
(3)∵△ABE∽△ECD,∴ .
∵AB=1,CD=4,BE=EC,∴BE2=AB·CD=4.
由勾股定理,得AE2=AB2+ BE2=5.
∵AE2=AB·AD,∴.
由勾股定理,得.
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【题目】(4分)如图,抛物线的对称轴是.且过点(,0),有下列结论:①abc>0;②a﹣2b+4c=0;③25a﹣10b+4c=0;④3b+2c>0;⑤a﹣b≥m(am﹣b);其中所有正确的结论是 .(填写正确结论的序号)
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【题目】阅读材料:
小明在学习二次根式的化简后,遇到了这样一个需要化简的式子:.该如何化简呢?思考后,他发现3+2=1+2+()2=(1+)2.于是==1+.善于思考的小明继续深入探索;当a+b=(m+n)2时(其中a,b,m,n均为正整数),则a+b=m2+2mn+2n2.此时,a=m2+2n2,b=2mn,于是,=m+n.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:
(1)设a,b,m,n均为正整数且=m+n,用含m,n的式子分别表示a,b时,结果是a= ,b= ;
(2)利用(1)中的结论,选择一组正整数填空:= + ;
(3)化简:.
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【题目】如图,在网格图中,与是位似图形.
若在网格上建立平面直角坐标系,使得点A的坐标为,点的坐标为,写出点B的坐标;
以点A为位似中心,在网格图中作,使和位似,且位似比为1:2;
在图上标出与的位似中心P,并写出点P的坐标,计算四边形ABCP的周长.
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【题目】已知,在长方形中,,,点,分别是边,上的点,连接,,.
(1)如图①,当时,试说明是直角三角形;
(2)如图②,若点是边的中点,平分,求的长.
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【题目】九(1)班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销售量的相关信息如下表:
时间x(天) | 1≤x<50 | 50≤x≤90 |
售价(元/件) | x+40 | 90 |
每天销量(件) | 200-2x |
已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品的每天利润为y元[
(1)求出y与x的函数关系式;
(2)问销售该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少?
(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4800元?请直接写出结果.
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【题目】已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1.
(1)求证:2a+b=0;
(2)若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4,求方程的另一个根.
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