Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4．BC=3，点M是AB上一点，以M为圆心作⊙M，
（1）若⊙M经过A、C两点，求⊙M的半径，并判断点B与⊙M的位置关系．
（2）若⊙M和AC、BC都相切，求⊙M的半径．

Answer 1

解：（1）∵⊙M经过A、C两点，
∴M在AC的垂直平分线上，
设点D是AC的中点，连接CM，DM，
∴DM∥BC，
∴AM：BM=AD：CD=1，
∴M是AB的中点，
∴AM=CM=BM，
连接CM，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
∴CM=AB=2.5，
∴⊙M的半径为2.5，点B在⊙M上．

（2）连接EM，FM，
∵⊙M和AC、BC都相切，
∴ME⊥AC，MF⊥BC，CE=CF，
∵∠C=90°，
∴四边形CEMF是正方形，
设EM=x，则CE=x，
∴AE=AC-CE=4-x，
∵△AEM∽△ACB，
∴AE：AC=EM：BC，
∴，
解得：x=．
即⊙M的半径为．
分析：（1）设点D是AC的中点，连接CM，DM，易得CM=AM=BM，继而求得⊙M的半径，并判断点B与⊙M的位置关系．
（2）首先连接EM，FM，可得四边形CEMF是正方形，设EM=x，则CE=x，由△AEM∽△ACB，根据相似三角形的对应边成比例求得答案．
点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．