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【题目】(1)如图①,ABCD的对角线AC,BD交于点O,直线EF过点O,分别交AD,BC于点E,F.求证:AE=CF.

(2)如图②,将ABCD(纸片)沿过对角线交点O的直线EF折叠,点A落在点A1处,点B落在点B1处,设FB1交CD于点G,A1B1分别交CD,DE于点H,I.求证:EI=FG.

【答案】1)(2证明见解析

【解析】

试题分析:(1)由四边形ABCD是平行四边形,可得ADBC,OA=OC,又由平行线的性质,可得1=2,继而利用ASA,即可证得AOE≌△COF,则可证得AE=CF.

(2)根据平行四边形的性质与折叠性质,易得A1E=CF,A1=A=CB1=B=D,继而可证得A1IE≌△CGF,即可证得EI=FG.

证明:(1)四边形ABCD是平行四边形,

ADBC,OA=OC,

∴∠1=2

AOECOF中,

∴△AOE≌△COF(ASA),

AE=CF

(2)四边形ABCD是平行四边形,

∴∠A=CB=D

由(1)得AE=CF,

由折叠的性质可得:AE=A1E,A1=AB1=B

A1E=CF,A1=A=CB1=B=D

∵∠1=2

∴∠3=4

∵∠5=34=6

∴∠5=6

A1IE与CGF中,

∴△A1IE≌△CGF(AAS),

EI=FG

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