【题目】(1)如图①,ABCD的对角线AC,BD交于点O,直线EF过点O,分别交AD,BC于点E,F.求证:AE=CF.
(2)如图②,将ABCD(纸片)沿过对角线交点O的直线EF折叠,点A落在点A1处,点B落在点B1处,设FB1交CD于点G,A1B1分别交CD,DE于点H,I.求证:EI=FG.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】
试题分析:(1)由四边形ABCD是平行四边形,可得AD∥BC,OA=OC,又由平行线的性质,可得∠1=∠2,继而利用ASA,即可证得△AOE≌△COF,则可证得AE=CF.
(2)根据平行四边形的性质与折叠性质,易得A1E=CF,∠A1=∠A=∠C,∠B1=∠B=∠D,继而可证得△A1IE≌△CGF,即可证得EI=FG.
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,OA=OC,
∴∠1=∠2,
∵在△AOE和△COF中,
,
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴AE=CF;
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,∠B=∠D,
由(1)得AE=CF,
由折叠的性质可得:AE=A1E,∠A1=∠A,∠B1=∠B,
∴A1E=CF,∠A1=∠A=∠C,∠B1=∠B=∠D,
又∵∠1=∠2,
∴∠3=∠4,
∵∠5=∠3,∠4=∠6,
∴∠5=∠6,
∵在△A1IE与△CGF中,
,
∴△A1IE≌△CGF(AAS),
∴EI=FG.
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【题目】如图,A、B、C、D在⊙O上,OC⊥AB,垂足为E,∠ADC=30°,⊙O的半径为2.求:
(1)∠BOC的度数;
(2)由BE、CE及弧BC围成的阴影部分面积.
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【题目】下列计算结果正确的是( )
A.﹣2x2y22xy=﹣2x3y4
B.28x4y2÷7x3y=4xy
C.3x2y﹣5xy2=﹣2x2y
D.(﹣3a﹣2)(3a﹣2)=9a2﹣4
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【题目】已知:△ABC≌△DCB,若BC=10cm,AB=5cm,AC=7cm,则CD为( )
A. 10cm B. 7cm C. 5cm D. 5cm或7cm
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【题目】某旅游景点8月份共接待游客25万人次,10月份共接待游客64万人次.设每月的平均增长率为x,则可列方程为( )
A.25(1+x)2=64 B.25(1﹣x)2=64
C.64(1+x)2=25 D.64(1﹣x)2=25
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【题目】如图1,已知正方形ABCD的边长为1,点E在边BC上,若∠AEF=90°,且EF交正方形的外角∠DCM的平分线CF于点F.
(1)图1中若点E是边BC的中点,我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF,请叙述你的一个构造方案,并指出是哪两个三角形全等(不要求证明);
(2)如图2,若点E在线段BC上滑动(不与点B,C重合).
①AE=EF是否一定成立?说出你的理由;
②在如图2所示的直角坐标系中抛物线y=ax2+x+c经过A、D两点,当点E滑动到某处时,点F恰好落在此抛物线上,求此时点F的坐标.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,D为边BC上一点,以AB,BD为邻边作ABDE,连接AD,EC.
(1)求证:△ADC≌△ECD;
(2)若BD=CD,求证:四边形ADCE是矩形.
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