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【题目】如图1,已知正方形ABCD的边长为1,点E在边BC上,若AEF=90°,且EF交正方形的外角DCM的平分线CF于点F.

(1)图1中若点E是边BC的中点,我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF,请叙述你的一个构造方案,并指出是哪两个三角形全等(不要求证明);

(2)如图2,若点E在线段BC上滑动(不与点B,C重合).

①AE=EF是否一定成立?说出你的理由;

②在如图2所示的直角坐标系中抛物线y=ax2+x+c经过A、D两点,当点E滑动到某处时,点F恰好落在此抛物线上,求此时点F的坐标.

【答案】(1)见解析;(2)见解析;②点F的坐标为F(

【解析】

试题分析:(1)由于AEF=90°,故FEC=EAB,而E是BC中点,从而只需取AB点G,连接EG,则有AG=CE,BG=BE,AGE=ECF,易得AGE≌△ECF

(2)①由于AB=BC,所以只要AG=EC就有BG=BE,就同样可得AGE≌△ECF,于是截取AG=EC,证全等即可;

②根据A、D两点的坐标求出抛物线解析式,设出F点的横坐标,纵坐标用横坐标表示,将F点的坐标代入抛物线解析式即可求出坐标.

解:(1)如图1,取AB的中点G,连接EG.AGE≌△ECF

(2)①若点E在线段BC上滑动时AE=EF总成立.

证明:如图2,在AB上截取AG=EC.

AB=BC

BG=BE

∴△GBE是等腰直角三角形,

∴∠AGE=180°﹣45°=135°,

CF平分正方形的外角,

∴∠ECF=135°

∴∠AGE=ECF

BAE+AEB=CEF+AEB=90°

∴∠BAE=CEF

∴△AGE≌△ECF

AE=EF

②由题意可知抛物线经过A(0,1),D(1,1)两点,

,解得

抛物线解析式为y=﹣x2+x+1,

过点F作FHx轴于H,

由①知,FH=BE=CH,设BH=a,则FH=a﹣1,

点F的坐标为F(a,a﹣1),

点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上,

a﹣1=﹣a2+a+1,

a=(负值不合题意,舍去),

点F的坐标为F(.

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