【题目】如图1,已知正方形ABCD的边长为1,点E在边BC上,若∠AEF=90°,且EF交正方形的外角∠DCM的平分线CF于点F.
(1)图1中若点E是边BC的中点,我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF,请叙述你的一个构造方案,并指出是哪两个三角形全等(不要求证明);
(2)如图2,若点E在线段BC上滑动(不与点B,C重合).
①AE=EF是否一定成立?说出你的理由;
②在如图2所示的直角坐标系中抛物线y=ax2+x+c经过A、D两点,当点E滑动到某处时,点F恰好落在此抛物线上,求此时点F的坐标.
【答案】(1)见解析;(2)①见解析;②点F的坐标为F(,)
【解析】
试题分析:(1)由于∠AEF=90°,故∠FEC=∠EAB,而E是BC中点,从而只需取AB点G,连接EG,则有AG=CE,BG=BE,∠AGE=∠ECF,易得△AGE≌△ECF;
(2)①由于AB=BC,所以只要AG=EC就有BG=BE,就同样可得△AGE≌△ECF,于是截取AG=EC,证全等即可;
②根据A、D两点的坐标求出抛物线解析式,设出F点的横坐标,纵坐标用横坐标表示,将F点的坐标代入抛物线解析式即可求出坐标.
解:(1)如图1,取AB的中点G,连接EG.△AGE≌△ECF.
(2)①若点E在线段BC上滑动时AE=EF总成立.
证明:如图2,在AB上截取AG=EC.
∵AB=BC,
∴BG=BE,
∴△GBE是等腰直角三角形,
∴∠AGE=180°﹣45°=135°,
∵CF平分正方形的外角,
∴∠ECF=135°,
∴∠AGE=∠ECF,
而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°,
∴∠BAE=∠CEF,
∴△AGE≌△ECF,
∴AE=EF.
②由题意可知抛物线经过A(0,1),D(1,1)两点,
∴,解得,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+1,
过点F作FH⊥x轴于H,
由①知,FH=BE=CH,设BH=a,则FH=a﹣1,
∴点F的坐标为F(a,a﹣1),
∵点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上,
∴a﹣1=﹣a2+a+1,
∴a=(负值不合题意,舍去),
点F的坐标为F(,).
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【题目】(1)如图①,ABCD的对角线AC,BD交于点O,直线EF过点O,分别交AD,BC于点E,F.求证:AE=CF.
(2)如图②,将ABCD(纸片)沿过对角线交点O的直线EF折叠,点A落在点A1处,点B落在点B1处,设FB1交CD于点G,A1B1分别交CD,DE于点H,I.求证:EI=FG.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列结论:
①b2﹣4ac>0;
②abc>0;
③当x>0时,y随x的增大而增大;
④9a+3b+c<0.
其中,正确结论是 .(请把所有正确结论的序号都填上)
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【题目】如图,点O(0,0),A(0,1)是正方形OAA1B的两个顶点,以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1,再以正方形的对角线OA2作正方形OA1A2B1,…,依此规律,则点A8的坐标是( )
A.(﹣8,0) B.(0,8) C.(0,8) D.(0,16)
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