Question

5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，直线BC的解析式为y=x-3．
（1）求抛物线的解析式和顶点M的坐标；
（2）若点P为直线BC下方抛物线上一动点，求点P到直线BC的最大距离；
（3）连接BM，点Q为y轴上一动点，当△QBM为直角三角形时，请直接写出点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据直线BC的解析式为y=x-3，求出B，C点的坐标，把B、C两点的坐标代入二次函数y=x²+bx+c即可求出bc的值，故可得出二次函数的解析式；
（2）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点E，设P（x，x²-2x-3），于是得到Q点的坐标为（x，x-3），当点P到直线BC的距离最大时，四边形ABPC的面积最大，根据四边形ACPB的面积即可得到结论；
（3）当∠BQM=90°时，即Q与O重合，于是得到 Q（0，0），当∠MBQ=90°时，于是得到Q（0，3）．

解答 解：（1）由y=x-3令y=0，则x=3，令x=0，y=-3，
∴B（3，0），C（0，-3）
∵点B（3，0），C（0，-3）在二次函数y=x²+bx+c的图象上，
∴将B、C两点的坐标代入得
$\left\{\begin{array}{l}{9+3b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$
∴二次函数的表达式为：y=x²-2x-3，
∴顶点M的坐标为（1，-4）；

（2）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点E，
设P（x，x²-2x-3），
∵直线BC的解析式为y=x-3，
∴Q点的坐标为（x，x-3），
当点P到直线BC的距离最大时，四边形ABPC的面积最大，
∴S_{四边形ABPC}=S_△ABC+S_△BPQ+S_△CPQ
=$\frac{1}{2}$AB•OC+$\frac{1}{2}$QP•OE+$\frac{1}{2}$QP•EB
=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$（3x-x²）×3
=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{8}$，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，四边形ABPC的面积最大．此时P点的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$），

（3）设Q（0，a），
∴BQ²=9+a²，BM²=4+16=20，QM²=1+（a-4）²，
当∠BQM=90°时，BQ²+QM²=BM²，即9+a²+1+（a-4）²=20，
解得：a=1．a=-5，
当∠MBQ=90°时，BQ²+BM²=QM²，即9+a²+20=1+（a-4）²，
解得：a=-$\frac{3}{2}$，
当∠BMQ=90°时，MQ²+BM²=QB²，即1+（a-4）²+20=9+a²，
解得：a=$\frac{7}{2}$，
综上所述，当△QBM为直角三角形时，点Q的坐标为Q（0，1）或Q（0，-5）或（0，-$\frac{3}{2}$）或（0，$\frac{7}{2}$）．

点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、三角形的面积公式等知识，难度适中．