Question

10．已知：关于x的方程x²+（8-4m）x+4m²=0
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出m的值，再将其代入原方程解方程即可求出方程的根；
（2）假设存在，设方程两根为x₁，x₂，根据根与系数的关系可得出x₁+x₂=4m-8、x₁•x₂=4m²，结合${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}$=136即可得出关于m的一元二次方程，解方程即可得出m的值，再由方程有解即可得出△=64-64m≥0，解不等式即可确定m的值，此题得解．

解答 解：（1）∵方程x²+（8-4m）x+4m²=0有两个相等实根，
∴△=（8-4m）²-4×1×4m²=64-64m=0，
解得：m=1，
∴原方程为x²+4x+4=0，
解得：x₁=x₂=-2．
答：m的值为1，此方程的根为-2．
（2）假设存在，设方程两根为x₁，x₂，
则有x₁+x₂=4m-8，x₁•x₂=4m²，
∴${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}$=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂=（4m-8）²-2×4m²=8m²-64m+64=136，
解得：m₁=-1，m₂=9．
∵方程有实数根，
∴△=（8-4m）²-4×1×4m²=64-64m≥0，
∴m≤1，
∴m的值为-1．

点评 本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根与系数的关系结合${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}$=136求出m的值是解题的关键．