Question

3．如图，三个全等的等腰三角形拼在一起，AB=AC=CD=DE，点B、C、E在同一条直线上，点S是DE的中点，连结BS，分别交AC、CD于点P、Q．
（1）直接写出图中的两对相似三角形（相似比为1的除外）；
（2）求BP：PQ：QS的值．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的性质得到∠BAC=∠ACD=∠CDE，由平行线的判定定理得到AB∥CD∥DE，于是得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ACB=∠DEC，由平行线的判定得到AC∥DE，推出△BPC∽△BSE，△PCQ∽△SDQ，根据相似三角形的性质得到$\frac{PB}{PS}=\frac{PC}{SE}=\frac{BC}{BE}=\frac{1}{2}$，$\frac{PC}{DS}=\frac{PQ}{QS}$，$\frac{PQ}{QS}=\frac{1}{2}$即可得到结论．

解答 解：（1）∵△ABC≌△ACD≌△DCE，
∴∠BAC=∠ACD=∠CDE，
∴AB∥CD∥DE，
∴△ABP∽△CPQ，△BPC∽△BSE；

（2）∵△ABC≌△DCE，
∴∠ACB=∠DEC，
∴AC∥DE，
∴△BPC∽△BSE，△PCQ∽△SDQ，
∴$\frac{PB}{PS}=\frac{PC}{SE}=\frac{BC}{BE}=\frac{1}{2}$，$\frac{PC}{DS}=\frac{PQ}{QS}$，
∵点S是DE的中点，
∴$\frac{PQ}{QS}=\frac{1}{2}$，
∴BP：PQ：QS=3：1：2．

点评 此题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的性质，线段中点的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．