Question

19．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AD平分∠BAC，BD∥AC
（1）求证：AE=BE；
（2）求证：BC+CE=DE．

Answer 1

分析 （1）由∠C=90°，∠ABC=30°，得到∠BAC=60°，根据AD平分∠BAC，于是得到∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°求得∠ABC=∠EAB，即可得到结论；
（2）由于∠C=90°，∠EAC=30°，得到AE=2CE，等量代换得到BE=2CE，根据平行线的性质得到∠DBE=∠C=90°，∠D=∠EAC=30°，于是得到DE=2BE，即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠C=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠EAB，
∴AE=BE；

（2）∵∠C=90°，∠EAC=30°，
∴AE=2CE，
∴BE=2CE，
∵BD∥AC，
∴∠DBE=∠C=90°，∠D=∠EAC=30°，
∴DE=2BE，
∴DE=BE+2CE=BE+CE+CE=BC+CE．

点评 本题考查了含30°直角三角形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．