Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝，BC＞AC，以斜边AB所在直线为x轴，以斜边AB上的高所在直线为y轴，建立直角坐标系，若OA²＋OB²＝17，且线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x²－mx＋2(m－3)＝0的两个根．

(1)求C点的坐标；

(2)以斜边AB为直径作圆与y轴交于另一点E，求过A、B、E三点的抛物线的解析式，并画出此抛物线的草图；

(3)在抛物线上是否存在点P，使△ABP与△ABC全等？若存在，求出符合条件的P点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x2－mx＋2(m－3)＝0的两个根，∴又∵OA2＋OB2＝17．③把①、②代人③，得m2－4(m－3)＝17．∴m2－4m－5＝0．解之，得m－1或m＝5．又知OA＋OB＝m＞0，∴m＝－1应舍去．∴当m＝5时，得方程：x2－5x＋4＝0．解之，得x＝1或x＝4．∵BC＞AC，∴OB＞OA．∴OA＝1，OB＝4．在Rt△ABC中，∠ACB＝，CO⊥AB，∴OC2＝OA·OB＝1×4＝4．∴OC＝2．∴(0，2); 　　(2)∵OA＝1，OB＝4，C、E两点关于x轴对称，∴A(－1，0)，B(4，0)，E(0，－2)．设经过A、B、E三点的抛物线的解式为y＝ax2＋bx＋c，则，解之，得，所求抛物线的解析式为y＝x2－x－2; 　　(3)存在．∵点E是抛物线与圆的交点，∴Rt△ACB≌Rt△AEB．∴E(0，－2)符合条件．∵圆心的坐标(，0)在抛物线的对称轴上，∴这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称．∴点E关于抛物线对称轴的对称点也符合题意．可求得(3，－2)∴抛物线上存在点P符合题意，它们的坐标是(0，－2)和(3，－2)