Question

14．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=3cm，点M，N同时从A点出发，点M以2cm/s的速度沿AD，DC，CB匀速运动，到点B停止；点N以1cm/s的速度沿AB匀速运动，到点B时停止，连接AM，MN．设△AMN的面积为y（cm²），点N的运动时间为t（s）．
（1）求y（cm²）与t（s）之间的函数关系式；
（2）在图2中直接画出y（cm²）与t（s）之间的函数图象（不必列表）．
（3）△AMN的面积y的最大值是6.75cm²（直接写出结果，不必写解题过程）

Answer 1

分析 （1）分三种情形画出图形，根据三角形面积公式就是即可，最后写成分段函数的格式．
（2）根据自变量取值范围，画出分段函数的图象即可．
（3）根据图象，找到最高点的自变量的值，即可解决问题．

解答 解：（1）当0≤t≤1.5时，如图1中，点M在AD上运动，

在RTAMN中，∵AM=2t，AN=t，
∴y₁=$\frac{1}{2}$•AN•AM=$\frac{1}{2}$•t•2t=t²．
当1.5＜t≤4.5时，如图2中，点M在DC上运动，

∵△AMN的高AD=3，底AN=t，
∴y₂=$\frac{1}{2}$•AN•AM=$\frac{1}{2}$•t•3=1.5t．
当4.5＜t≤6时，如图3中，点M在CB上运动，

在△AMN中，∵AN=t，BM=12-2t，
∴y₃=$\frac{1}{2}$AN•BM=$\frac{1}{2}$•t•（12-2t）=-t²+6t．
∴y=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}}&{（0≤t≤1.5）}\\{1.5t}&{（1.5＜t≤4.5）}\\{-{t}^{2}+6t}&{（4.5＜t≤6）}\end{array}\right.$．
（2）y（cm²）与t（s）之间的函数图象如下图所示，

（3）由图象可知x=4，5时，y取得最大值=1.5×4.5=6.75cm²．
故答案为6.75cm²．

点评 本题考查四边形综合题、一次函数、二次函数等知识，解题的关键是正确画出图形，根据自变量的取值范围画出图象，找到最高点求最大值，属于中考常考题型．