Question

12．在平面直角坐标系中，抛物线C₁：y=ax²-1
（1）若抛物线过点A（1，0），求抛物线C₁的解析式；
（2）将（1）中的抛物线C₁平移，使其顶点在直线l₁：y=x上，得到抛物线C₂，若直线l₁与抛物线C₂交于点C、D，求线段CD的长；
（3）将（1）中的抛物线C₁绕点A旋转180°后得到抛物线C₃，直线y=kx-2k+4与抛物线C₃只有唯一交点，求符合条件的直线l的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据顶点坐标，可得抛物线的解析式，根据解方程组，可得C、D点坐标，根据勾股定理，可得答案；
（3）根据旋转的性质，可得C₃的顶点坐标，C₃的开口方向，分类讨论：直线l平行y轴，直线l不平行y轴，根据代入消元法，可得关于x的一元二次方程，根据方程有一个解，可得判别式等于零，可得关于k的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）将点A（1，0）代入函数解析式，a-1=0，解得a=1，
抛物线C₁的解析式y=x²-1；
（2）可设抛物线C₂的顶点为（m，n），
依题意抛物线C₂为y=（x-m）²+m
与直线y=x联立解方程组得，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=（x-m）^{2}+m}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=m}\\{{y}_{1}=m}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=m+1}\\{{y}_{2}=m+1}\end{array}\right.$，
即C（m，m），D（m+1，m+1），
如图：
，
过点C作CH∥x轴，过点D作DN∥y轴，CH交DN于点M，
∴CM=1，DM=1，
∴CD=$\sqrt{2}$；
（3）顶点（0，-1）关于A（1，0）的对称点是（2，1），
抛物线C₃的解析式为y=-（x-2）²+1
∵直线y=kx-2k+4=k（x-2）+4，
∴直线l过定点M为（2，4），
①当直线l∥y轴时，则x=2与抛物线C₃总有唯一公共点（2，1）；
②当直线l不平行于y轴时，由一次函数y=kx-2k+4（k≠0），
l与y=-（x-2）²+1联立，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2k+4}\\{y=-（x-2）^{2}+1}\end{array}\right.$，
消去y得x²-4x+3+kx-2k+4=0
即x²-（4-k）x+7-2k=0，
△=k²-12=0，
解得k₁=$2\sqrt{3}$，k₂=-$2\sqrt{3}$
∴$y=2\sqrt{3}x+4-4\sqrt{3}$或y=-2$\sqrt{3}$+4+4$\sqrt{4}$
综上所述，过定点M，共有三条直线l：x=2或$y=2\sqrt{3}x+4-4\sqrt{3}$或y=-2$\sqrt{3}$+4+4$\sqrt{4}$，它们分别与抛物线C₃有唯一个公共点．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，解方程组得出C、D的坐标，利用勾股定理是解题关键；利用图形旋转得出C₃的解析式是解题关键，又利用方程组有唯一解得出一元二次方程有两个相等的实数根，利用了判别式等于零得出关于k的方程．