Question

3、关于x方程x²-（k+2）x+2k+1=0的两实数根为x₁与x₂，若x₁²+x₂²=11，求实数k的值．

Answer 1

分析：关于x方程x²-（k+2）x+2k+1=0的两实数根为x₁与x₂，则△≥0，由根与系数的关系得：x₁+x₂=k+2，x₁x₂=2k+1，再根据x₁²+x₂²=11，列出关于k的等式即可求解．

解答：解：∵x方程x²-（k+2）x+2k+1=0的两实数根为x₁与x₂，
∴△=（k+2）²-4（2k+1）≥0，
解得：k≥4或k≤0，
由根与系数的关系得：x₁+x₂=k+2，x₁x₂=2k+1，
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=11，
∴（k+2）²-2（2k+1）=11，
∴k²-9=0，
解得：k=±3．
∵k≥4或k≤0，
∴k=3舍去，
故k=-3．

点评：本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度一般，关键掌握x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两根时，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，但千万不要忽视了判别式△≥0这一隐含条件．