Question

如图，⊙O₁与⊙O₂内切于点P．⊙O₂的弦AB切⊙O₁于点C，连接PA、PB，PC的延长线交⊙O₂于点D．求证：（1）∠APC=∠BPC；
（2）PC²+AC•BC=PA•PB．

Answer 1

证明：①过点P作两圆公切线MN，连接EC，AD，
则∠MPA=∠PCE=∠D．
∴EC∥AD．
∴∠ACE=∠CAD．
∵AB是⊙O₁的切线，
∴∠ACE=∠APC．
∵∠CAD=∠BPC，
∴∠APC=∠BPC．

②∵∠APC=∠BPC，∠B=∠D，
∴△PBC∽△PDA，
∴PB：PD=PC：PA，
∴PB•PA=PC•PD=PC（PC+CD）=PC²+PC•CD，
∵PC•PD=AC•BC，
∴PC²+AC•BC=PA•PB．
分析：①首先过点P作两圆公切线MN，连接EC，AD，由弦切角定理，可得∠MPA=∠PCE=∠D，则可证得EC∥AD，可得∠ACE=∠CAD．由圆周角定理与弦切角定理，证得∠APC=∠BPC；
②易证得△PBC∽△PDA，由相似三角形的对应边成比例，可得PB•PA=PC•PD=PC（PC+CD）=PC²+PC•CD，又由相交弦定理，证得PC•PD=AC•BC，则可证得结论．
点评：此题考查了相切两圆的性质、弦切角定理、相交弦定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．