Question

2．如图，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象交干A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，若CD=2$\sqrt{5}$，tan∠ACO=$\frac{1}{2}$，点A的坐标为（m，3）．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）连接OB，点P在直线AC上，且S_△AOP=2S_△BOC，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据Rt△COD中，tan∠ACO=$\frac{1}{2}$，CD=2$\sqrt{5}$，即可得到D（0，2），C（4，0），运用待定系数法即可求得反比例函数与一次函数的解析式；
（2）先解方程组求得B（6，-1），进而得到S_△AOP=2S_△BOC=2×$\frac{1}{2}$×4×1=4，设P（x，-$\frac{1}{2}$x+2），再分两种情况：①当点P在CD上时，S_△AOP=S_△AOD+S_△DOP，②当点P'在CA延长线上时，S_△AOP'=S_△DOP-S_△AOD，分别求得点P的坐标为（2，1）或（-6，5）．

解答 解：（1）∵Rt△COD中，tan∠ACO=$\frac{1}{2}$，
∴CO=2OD，
又∵CD=2$\sqrt{5}$，
∴OD²+4OD²=（2$\sqrt{5}$）²，
解得OD=2，CO=4，
∴D（0，2），C（4，0），
∵直线y=ax+b（a≠0）与x轴、y轴分别交于C、D两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=b}\\{0=4a+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
把点A的坐标（m，3）代入，可得
3=-$\frac{1}{2}$m+2，解得m=-2，
∴A（-2，3），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象经过点A，
∴k=-2×3=-6，
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{6}{x}$；

（2）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+2}\\{y=-\frac{6}{x}}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴B（6，-1），
∴S_△AOP=2S_△BOC=2×$\frac{1}{2}$×4×1=4，
设P（x，-$\frac{1}{2}$x+2），
分两种情况：
①当点P在CD上时，S_△AOP=S_△AOD+S_△DOP，
∴4=$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{1}{2}$×2×|x|，解得x=2，
∴P（2，1）；
②当点P'在CA延长线上时，S_△AOP'=S_△DOP'-S_△AOD
∴4=$\frac{1}{2}$×2×|x|-$\frac{1}{2}$×2×2，解得x=-6，
∴P'（-6，5）．
综上所述，点P的坐标为（2，1）或（-6，5）．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及解直角三角形的应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法，解题时注意分类思想的运用．求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解即可．