Question

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm．
（1）以斜边BC上距离C点2cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，并且DF交AC于点N，交BC于点Q，EF交AC于点M，则PQ的长为多少cm？
（2）在（1）的条件下，求旋转后△DEF与△ABC重叠部分的面积S；
（3）以斜边BC上距离C点xcm的点P为中心（P不是B、C），把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，设△DEF与△ABC重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵以斜边BC上距离C点2cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，
∴PF=PC，△PCM≌△PFQ，△PFQ∽△ACB，
∴，
∴，
∴PQ=1.5；

（2）∵∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，
∴BC=5，PC=2，S_△ABC=6，
∵S_△PMC：S_△ABC=1：4，即S_△PMC=，
∴PM=PQ=，
∴QC=，
∴S_△NQC：S_△ABC=QC²：BC²=（）²：5²，
∴S_△NQC=，
∴S_{四边形NQPM}=S_△NQC-S_△PMC=1.44cm²．

（3）点P从C点逐渐向B移动时，有三种情况，它是由BC上的三段组成的P点的三个取值范围，
见图所示，即P在CP₁上、P在P₁P₂上、P在P₂B上这三段．其中的P₁、P₂是两个特殊的位置：P₁的位置是FD与AB有部分重合；P₂的位置是FE过A点．下面先求出CP₁的长．
对于图2中的P₁位置，即是下图1中，当AN=0时的情况．由PC=x及△FNM∽△CPM∽△CAB，可得MC=x，
MN=x，∴NC=NM+MC=x+x=x，
从而AN=AC-NC=4-x，
由AN=0，解得x=；
对于图2中点P₂的位置，容易求得P₂C=．
①当P在CP₁间，即0＜x≤时，
y=S_△FPQ-S_△FNM=S_△CPM-S_△FNM
=PC•MP-FN•NM
=x•x-×x•x=x²，
②当P在P₁P₂间，即＜x≤时，y=S_△ABC-S_△CPM=6-•x•x=6-x²；
③当P在P₂B间，即＜x＜5时，y=S_△MPB=•（5-x）•（5-x）=（5-x）²．
故：当0＜x≤时，y=x²；
当＜x≤时，y=6-x²；
当＜x＜5时，y=（5-x）²．

分析：（1）根据以斜边BC上距离C点2cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，可以得出PF=PC，△PCM≌△PFQ，△PFQ∽△ACB，即可求出答案；
（2）根据△PMC∽△ABC，相似比PC：AC=2：4=1：2，可求S_△PMC；已知PC、S_△PMC，可求PM，从而可得PQ，CQ，再由△NQC∽△ABC，相似比为CQ：CB，利用面积比等于相似比的平方求S_△NQC，用S_{四边形NQPM}=S_△NQC-S_△PMC求面积．
（3）点P从C点逐渐向B移动时，有三种情况，它是由BC上的三段组成的P点的三个取值范围，如图所示，即P在CP₁上、P在P₁P₂上、P在P₂B上这三段．其中的P₁、P₂是两个特殊的位置：P₁的位置是FD与AB有部分重合；P₂的位置是FE过A点．首先求出CP₁的长．对于图2中的P₁位置，即是下图1中，当AN=0时的情况．由PC=x及△FNM∽△CPM∽△CAB，可得MC=x，MN=x，所以NC=NM+MC=x，从而AN=AC-NC=4-x，由AN=0求出x=；对于图2中点P₂的位置，容易求得P₂C=，
①当P在CP₁间，即0＜x≤时，可以求出函数解析式；
②当P在P₁P₂间，即＜x≤时，由y=S_△ABC-S_△CPM可以求出函数解析式；
③当P在P₂B间，即＜x＜5时，求出函数解析式．
点评：此题主要考查了旋转的性质，旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．据此得判断出相等的对应角，得到相似三角形，利用相似三角形的性质解答．