Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接OE，若AB=4，AD=3，求OE的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD，BD，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，
∴CE=DE=BE=BC，
∴∠C=∠CDE，
∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，
∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，
∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，
∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，
∴DE为圆O的切线；

（2）解：在Rt△ABD中，AB=4，AD=3，
根据勾股定理得：BD==，
∵∠DAB=∠BAC，∠ADB=∠CBA=90°，
∴△ADB∽△ABC，
∴=，即=，
解得：BC=，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AC==，
∵E为BC的中点，O为AB的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
则OE=AC=．
分析：（1）连接OD，BD，由AB为圆O的直径，得到∠ADB为直角，可得出三角形BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE，利用等边对等角得到一对角相等，再由OA=OD，利用等边对等角得到一对角相等，由直角三角形ABC中两锐角互余，利用等角的余角相等得到∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为圆O的切线；
（2）连接OE，由E为BC的中点，O为AB的中点，即OE为三角形ABC的中位线，可得出OE等于AC的一半，接下来求出AC，在直角三角形ABD中，由AB与AD的长，利用勾股定理求出BD的长，由一对角为公共角，一对直角相等，得到三角形ADB与三角形ABC相似，由相似得比例将AB，AD，及BD的长代入求出BC的长，在直角三角形ABC中，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，即可得出OE的长．
点评：此题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．