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如图,AB为半圆O的直径,OC⊥AB交⊙O于C,P为BC延长线上一动点,D为AP中点,DE⊥PA,交半径OC于E,连CD.下列结论:①PE⊥AE;②DC=DE;③∠OEA=∠APB;④PC+
2
CE为定值.其中正确结论的个数为(  )
A.l个B.2个C.3个D.4个

①如图:∵点D是AP的中点,且DE⊥AP,∴DE是AP的垂直平分线,
又AB是半⊙O的直径,OC⊥AB,∴OC是AB的垂直平分线,
∴点E是△ABP的外心,
∵∠ABC=45°,∴∠AEP=90°(同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半)
∴PE⊥AE,故①正确.
②∵AB是半⊙O的直径,∴∠ACB=90°=∠ACP=∠AEP,
∴点C和点E在以点D为圆心的同一个圆上,∴DC=DE,故②正确.
③由①知点E是△ABP的外心,∴∠APB=
1
2
∠AEB=∠AEO,故③正确.
④在直角△APC中,PC=AP•cos∠APC=
2
AE•cos∠AE0=
2
AE•
OE
AE
=
2
OE,
∴PC+
2
CE=
2
OE+
2
CE=
2
(OE+CE)=
2
OC,
∴PC+
2
CE为定值,是⊙O半径的
2
倍.故④正确.
故选D.
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2
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AD
=
BC
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