Question

【题目】矩形OABC的顶点A(-8，0)、C(0，6)，点D是BC边上的中点，抛物线y=ax2+bx经过A、D两点，如图所示.

(1)求点D关于y轴的对称点D′的坐标及a、b的值；

(2)在y轴上取一点P,使PA+PD长度最短,求点P的坐标；

(3)将抛物线y=ax2+bx向下平移,记平移后点A的对应点为A1，点D的对应点为D1，当抛物线平移到某个位置时，恰好使得点O是y轴上到A1、D1两点距离之和OA1+OD1最短的一点，求此抛物线的解析式.

Answer 1

【答案】（1）D′(4，6). a=-,b=-3.（2）P(0，4).（3）y=-x2-3x-4.

【解析】试题分析：（1）首先根据矩形的性质得到点B的坐标，然后得到点D的坐标，从而得到点D′的坐标，然后利用待定系数法求得a、b的值即可；
（2）求得直线AD′的解析式后求得直线与y轴的交点坐标即为点P的坐标；
（3）首先利用待定系数法求得直线A1D1′的解析式，根据点O为使OA1+OD1最短的点求得m的值，从而确定抛物线的解析式．

试题解析：（1)由矩形的性质可知：B(-8，6)，∴D(-4，6).∴点D关于y轴对称点D′(4，6).

将A(-8，0)、D(-4，6)代入y=ax2+bx，得64a-8b=0,16a-4b=6.∴a=-,b=-3.

(2)设直线AD′的解析式为y=kx+n，∴-8k+n=0,4k+n=6.解得k=,n=4.

∴直线y=x+4与y轴交于点(0，4).∴P(0，4).

(3)解法1：由于OP=4，故将抛物线向下平移4个单位时，有OA1+OD1最短.

∴y+4=-x2-3x，即此时的解析式为y=-x2-3x-4.

解法2：设抛物线向下平移了m个单位，则A1(-8，-m)，D1(-4，6-m)，∴D′1（4，6-m）.

令直线A1D′1为y=k′x+b′.则-8k′+b′=-m,4k′+b′=6-m.∴k′=,b′=4-m.

∵点O为使OA1+OD1最短的点，∴b′=4-m=0.∴m=4，即将抛物线向下平移了4个单位.

∴y+4=-x2-3x，即此时的解析式为y=-x2-3x-4.