Question

如图，在△ABC中，AC=6，AB=12，cosA=，点M在AB上运动，MP∥AC交BC于P，MQ⊥AC于Q，设AM=x，梯形MPCQ的面积为y．
（1）求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；
（2）当梯形MPCQ的面积为4时，求x的值；
（3）梯形MPCQ的面积是否有最大值，如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．

Answer 1

解：（1）过点C作CK⊥AB于K，
∵在△ABC中，AC=6，AB=12，cosA=，
∴=，
∴AK=，
∴CK=，
∴S_△ABC=AB•CK=×12×=，
∵AM=x，MQ⊥AC于Q，
∴AQ=AM•cosA=x，
∴QM=x，
∴S_△AMQ=AQ•MQ=×x×x=x²，
∵MP∥AC，
∴△BPM∽△BCA，
∴=（）²=（）²，
∴S_△BPM=，
∴y=S_梯形MPCQ=S_△ABC-S_△AMQ-S_△BPM=-x²-=-x²+x，
∴y关于x的函数表达式为：y=-x²+x，自变量x的取值范围为：（0＜x＜10）；

（2）若y=4，
则-x²+x=4，
解得：x₁=，x₂=10（舍去），
∴x的值为：；

（3）有．
理由：∵y=-x²+x=-（x-）²+，
∴当x=时，y最大，最大值为：，
∴梯形MPCQ的面积有最大值为：．
分析：（1）首先过点C作CK⊥AB于K，由在△ABC中，AC=6，AB=12，cosA=，即可求得△ABC的高CK，继而求得△ABC的面积，又由MQ⊥AC，设AM=x，即可表示出△AMQ的面积，然后由MP∥AC，可得△BPM∽△BCA，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，表示出△BPM的面积，由y=S_梯形MPCQ=S_△ABC-S_△AMQ-S_△BPM，即可求得y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；
（2）根据（1），由y=4，列方程即可求得x的值；
（3）根据（1），利用配方法，根据二次函数的最值问题，即可求得答案．
点评：此题考查了二次函数的综合应用问题，考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角函数等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．